матан 3 курс 2013 / лекции / Частинні похідні і диференціали / лекция № 34

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 34

з теми: «Частинні похідні та диференціали вищих порядків.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.13 Частинні похідні і диференціали

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Частинні похідні та диференціали вищих порядків.

Мета:

• Дидактична: вивчити поняття частинних похідних другого,третього порядків, диференціалу вищих порядків функції двох, трьох змінних.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики проектної технології.

Тип: лекція

Вид: лекція з використанням проектної технології.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: диференційованість функції двох змінної, визначення частинних похідних та диференціала функції двох змінної, таблиця похідних основних елементарних функцій, правила обчислення похідних функцій однієї змінної, похідна складної функції двох змінних. Інваріантність форми першого диференціалу. Визначення похідних та диференціалів вищих порядків для функцій однієї змінної.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Частинні похідні та диференціали вищих порядків.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження функцій багатьох змінних для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 34.

Тема: Частинні похідні та диференціали вищих порядків.

План лекції № 34.

1. Частинні похідні вищих порядків.

2. Диференціали вищих порядків для функції двох, трьох змінних.

Розглянемо функцію z = ƒ(х, у). Її частинні похідні також є функціями й, тому, можна розглянути їх частинні похідні. Нехай - частинні похідні даної функції. Тоді , є частинними похідними другого порядку. Аналогічно визначаються похідні більш високих порядків. Теорема. Якщо функція ƒ визначена разом із своїми частинними похідними , в деякім околі точки та похідні неперервні в цій точці, то .

Для диференційованої функції її диференціал має вигляд та є функцією від 2n змінних .

Диференціал другого порядку .

- формула для знаходження диференціалу порядку m.

Для складної функції диференціал другого порядку має вигляд

Якщо задано функцію і обчислені її частинні похідні і , то вони також є функціями незалежних змінних і , а тому від кожної із них можна обчислити похідні як по змінній так і по змінній .

Частинні похідні від частинних похідних першого порядку називаються частинними похідними другого порядку. Вони позначаються:

, ,

, .

Аналогічно означаються і позначаються частинні похідні вищих порядків.

Частинні похідні, які відмінні одна від одної лише порядком диференціювання, називаються мішаними похідними. Вони є рівними між собою при умові їх неперервності, тобто .

Похідна від неявної функції, яку задано рівнянням може бути обчислена за формулою: .

Частинні похідні неявної функції , заданої рівнянням , можуть бути обчисленні за формулами:

, .

Зразки розв’язання задач

1. Знайти частинні похідні другого порядку:

а) .

Знайдемо перші похідні:

, .

Знайдемо другі похідні:

, ,

, .

б) .

, ;

, ,

, .

в) .

, ;

,

,

.

2. Перевірити, що для функції .

Знаходимо перші похідні:

, .

Обчислимо мішані похідні другого порядку:

,

.

Як бачимо, .

3. Перевірити, що функція задовольняє рівняння .

Знайдемо частинні похідні першого та другого порядку, які є в даному рівнянні:

, ;

.

Підставляємо знайдені похідні в наше рівняння:

або .

Отримаємо: , а саме .

Ми отримали тотожність, тому функція задовольняє дане рівняння.

4. Знайти похідну від функцій, заданих неявно:

а) .

.

Знайдемо частинні похідні: , .

За формулою (2.7) маємо: .

б) .

.

, .

За формулою (2.7) маємо: .

в) .

.

Тоді , .

Отримаємо: .

5. Знайти та від неявно заданих функцій:

а) .

.

Обчислимо , , .

Зауважимо, що у кожному випадку беручи похідну по одній змінній, дві другі вважаються сталими. За формулами (2.8) маємо: , .

б) .

.

Обчислимо , , .

Тоді будемо мати: ,

.

6. . Знайти та у точці .

.

Знайдемо , , .

За формулами (2.8):

, тоді .

, тоді .