матан 3 курс 2013 / лекции / Невласні інтеграли / лекция № 17

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 17

з теми: «Визначення невласних інтегралів. Формули інтегрального числення для невласних інтегралів.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.09 Невласні інтеграли

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Визначення невласних інтегралів. Формули інтегрального числення для невласних інтегралів.

Мета:

• Дидактична: навчитись досліджувати на абсолютну та умовну збіжність невласні інтеграли, володіти методами інтегрування та дослідження невласних інтегралів на збіжність.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.

Тип: лекція

Вид: лекція – діалог

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення первісної, визначення невизначеного інтегралу, таблиця інтегралів основних елементарних функцій, класи функцій, що інтегруються, методи інтегрування. Визначення границі функції в точці, властивості границі функції в точці. Визначення інтегралу Рімана, методи інтегрування у визначеному інтегралі, формула Ньютона-Лейбніца, геометричний зміст визначеного інтегралу.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Визначення невласних інтегралів. Формули інтегрального числення для невласних інтегралів.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження невласних інтегралів для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 17.

Тема: Визначення невласних інтегралів. Формули інтегрального числення для невласних інтегралів.

План лекції № 17.

1. Визначення невласних інтегралів.

2. Формули інтегрального числення для невласних інтегралів.

1. Нехай функція ƒ визначена на скінченому чи нескінченому полу інтервалі [a, b), - ∞ < a < b ≤ + ∞, та для будь – якого числа ε [a, b), інтегрована на відрізку [a, ε].

Визначення 1. Функція верхньої границі інтегрування, a ≤ ε < b, називається невласним інтегралом та позначається . Якщо існує скінчена границя , то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо ця границя нескінчена чи не існує, то – розбіжним.

Тобто маємо: = . Можливі два випадки: коли b – скінчене число та коли b – нескінчене число.

Якщо b – скінчене число, то інтеграл є невласним у випадку, коли ƒ необмежена у будь - якому околі точки b; інакше маємо визначений інтеграл.

Геометричний зміст невласного інтегралу від невід’ємної функції ƒ полягає у тому, що дорівнює площі криволінійної трапеції Р={(х, у): a ≤ х ≤ b, 0 ≤ у ≤ ƒ(х)}, що породжена графіком функції ƒ, причому ця трапеція як у випадку необмеженої функції ƒ та скінченого проміжку [a, b), так й у випадку нескінченого проміжку [a, b), завжди є необмеженою множиною.

Якщо a < c < b, то з рівності =+ видно, що невласний інтеграл = існує в тому та тільки в тому випадку, коли існує невласний інтеграл = , причому у випадку існування цих інтегралів при переході до границі будемо мати: =+.

Якщо функція ƒ визначена на скінченому чи нескінченому полу інтервалі (a, b], - ∞ ≤ a < b < + ∞, та для будь – якого числа ε (a, b], інтегрована на відрізку [a, ε], то функція нижньої границі інтегрування, a < ε ≤ b, називається невласним інтегралом та позначається . Якщо існує скінчена границя , то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо ця границя нескінчена чи не існує, то – розбіжним.

Тобто маємо: = . Аналогічно: =+.

Приклад. 1) .

2) .

2. Нехай функція визначена на полу інтервалі [a, b), та інтегрована за Ріманом на будь – якому відрізку [a, ε], ε [a, b).

Властивості невласних інтегралів:

1) Формула Ньютона – Лейбніца. Якщо функція ƒ неперервна на проміжку [a, b), та Φ – деяка її первісна, то : = Φ(b-0) – Φ(а).

2) Лінійність інтеграла. Якщо невласні інтеграли та збігаються , то R невласний інтеграл також збігається та =+.

3) Інтегрування нерівностей. Якщо невласні інтеграли та збігаються та для всіх х [a, b) виконується нерівність ƒ(х) ≤ g(х), то ≤ .

4) Правило заміни змінного. Якщо функції ƒ(x) неперервна на проміжку Δ= [a, b), а функція g(t) неперервно диференційована на проміжку Δ= [α, β), то ƒ(g(t))g′(t)dt = ƒ(х)dx, де - ∞ < α < β ≤ + ∞, та виконано умову g(Δ) Δ; причому з існування інтегралу правої частини прослідує існування інтегралу в лівій частині.

5) Правило інтегрування за частинами.

Якщо функції u(х) та v(х) неперервні на проміжку[a, b), а їх похідні кусочно – неперервні на будь – якому відрізку [a, ε], а < ε < b, то udv = uv - vdu, причому з існування будь – яких двох з послідуючих трьох границь , , прослідує існування третьої границі.