Контрольные вопросы и задания

1. Назовите виды относительных величин.

2. Покажите способы расчета относительных величин.

3. Каковы формы выражения относительных величин?

4. В чем заключается взаимосвязь абсолютных и относительных величин?

4. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

4.1. Понятие средних величин, их виды и способы получения

Средняя величина – это обобщающий показатель, который дает количественную характеристику признака в статистической совокупности в условиях конкретного места и времени.

Виды средних величин (табл. 1):

– степенные (гармоническая, геометрическая, арифметическая, квадратическая, кубическая, биквадратическая);

– структурные (мода, медиана, квартили, децили, квинтили, перцентили).

Таблица 1

Виды средних величин

Вид степенной средней	Показатель степени средней k	Формула расчета
		простая	взвешенная
Гармоническая	–1
Геометрическая	1
Арифметическая	0
Квадратическая	2

4.2. Мода и медиана

Мода – это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем – значение модальной величины признака по формуле

,

где – значение моды;  – нижняя граница модального интервала; n – величина интервала; – частота модального интервала; –частота интервала, предшествующего модальному;  – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианты приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле

,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков, находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем – значение медианы по формуле

,

где  – искомая медиана; – нижняя граница интервала, который содержит медиану; – величина интервала; – сумма частот ряда; – сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному; – частота медианного интервала.

4.3. Показатели вариации

Вариация – это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение и представляет собой необходимое звено в экономическом анализе. Важность изучения вариации связана с тем, что средняя, являясь равнодействующей, выполняет свою основную задачу с разной степенью точности: чем меньше различия индивидуальных значений признака, подлежащих осреднению, тем однороднее совокупность, а следовательно, точнее и надежнее средняя, и наоборот. По степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию.

Изменение вариации признака в совокупности осуществляется с помощью абсолютных и относительных показателей.

Абсолютные показатели вариации включают (для несгруппированных и сгруппированных признаков):

– размах вариации ;

– среднее линейное отклонение ,;

– дисперсию ,;

– среднее квадратическое отклонение ,.

Относительные показатели вариации:

– коэффициент осцилляции ;

– относительное линейное отклонение ;

– коэффициент вариации .

Все три дисперсии связаны между собой следующим равенством, которое известно какправило сложения дисперсий:

.

Межгрупповая дисперсия  измеряет систематическую вариацию, обусловленную влиянием фактора, по которому произведена группировка:

.

Внутригрупповая дисперсия оценивает вариацию признака, сложившуюся под влиянием других, не учитываемых в данном исследовании факторов, и не зависящую от фактора группировки. Она определяется как средняя из групповых дисперсий:

.

На этом соотношении строятся показатели, оценивающие влияние признака группировки на образование общей вариации. К ним относятся эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Задание 9. Имеются данные о заработной плате продавцов универмага.

Заработная плата за месяц	До 5000	5000– 7200	7200– 9400	9400– 12 000	12 000– 13500	13 500– 15 000	Свыше 15 000
Число продавцов	10	16	21	45	32	19	8

Определите среднюю зарплату продавца.

Задание 10. Имеются данные по трем магазинам объединения «Вернисаж» за месяц.

№ магазина	Средняя зарплата продавца, р.	Фонд оплаты труда продавцов, р.	Средняя выработка на одного продавца, тыс. р.
1	10 025	70 250	12,5
2	9880	47 904	12,2
3	10 860	43 032	13,1

Определите количество продавцов, среднюю выработку и среднюю заработную плату по объединению «Вернисаж».

Задание 11. По данным о цене и объеме продажи творога на трех рынках города определите среднюю цену 1 кг творога за I квартал, за II квартал и за полугодие.

№ п/п	Рынок	I квартал		II квартал
		Цена за 1 кг, р.	Продано, кг	Цена за 1 кг, р.	Продано на сумму, р.
1	Центральный	188	50	200	12 040
2	Северный	175	45	195	12 100
3	Южный	170	60	170	11 650

Задание 12. Имеются данные о распределении магазинов по размеру товарооборота.

Группа магазинов по размеру месячного товарооборота, тыс. р.	До 10	10–20	20–30	30–40	40–50	Свыше 50
Число магазинов, % к итогу	5	15	23	27	16	14

Определите:

1) средний товарооборот, приходящийся на один магазин;

2) моду и медиану.

Задание 13. Имеются данные о распределении продавцов торгового объединения по возрасту.

Возраст продавцов	До 18	18–28	28–38	38–48	Свыше 48
Число продавцов	17	38	72	49	24

Определите:

1) средний возраст продавца;

2) моду и медиану;

3) показатели вариации:

– размах вариации;

– среднее линейное отклонение;

– средний квадрат отклонений (дисперсию);

– среднее квадратическое отклонение;

– коэффициент вариации.

Сделайте выводы.

Задание 14. Имеются результаты группировки магазинов по расстоянию от базы снабжения.

Расстояние от базы снабжения, км	До 10	10–20	20–30	30–40	40–50	Свыше 50
Число магазинов, ед.	9	22	26	20	13	10

Определите:

1) среднее расстояние от базы снабжения, км;

2) моду и медиану;

3) показатели вариации:

– размах вариации;

– среднее линейное отклонение;

– средний квадрат отклонений (дисперсию);

– среднее квадратическое отклонение;

– коэффициент вариации.

Сделайте выводы.

Задание 15. Имеются данные о размере товарооборота продовольственных магазинов города.

Группа магазинов по размеру товарообо­ро­та, тыс. р.	1000– 1050	1100– 1150	1150– 1200	2000– 1250	1250– 1300	1300– 1350	1400– 1450	1450– 1500	Свыше 1500
Число магазинов	2	16	35	51	43	26	8	6	3

Определите средний товарооборот и среднее квадратическое отклонение товарооборота по магазинам города способом моментов.

Задание 16. Имеются данные по трем секциям универмага.

Стаж работы (лет)	Число продавцов	Средняя зарплата	Среднее квадратическое зарплаты, р.
До 3	12	10 000	15
3–10	10	12 000	12
Более 10	15	14 000	22

Рассчитайте:

1) среднюю зарплату продавцов универмага;

2) общую дисперсию и среднее квадратическое отклонение заработной платы продавцов.

Задание 17. Имеются данные по десяти продовольственным магазинам города.

№ магазина	Товарооборот, млн. р.	Количество розничных торговых предприятий	Прибыль, тыс. р.
1	3,8	5	51
2	1,9	4	19
3	4,4	6	83
4	4,4	6	49
5	2,4	5	25
6	3,2	5	38
7	4,6	8	51
8	5,0	8	60
9	2,8	6	21
10	3,9	5	40

Вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение, применив формулу :

1) по товарообороту;

2) по количеству розничных предприятий;

3) по прибыли расчетной и фактической;

4) по расстоянию от базы снабжения.

Задание 18. Определите среднее квадратическое отклонение, если известно, что средняя величина признака – 240, а коэффициент вариации составляет 31 %.

Задание 19. Средняя величина признака равна 25, а коэффициент вариации 30 %. Определите дисперсию.

Задание 20. Дисперсия признака равна 60 000, коэффициент вариации 33 %, определите среднюю величину признака.

Задание 21. Средняя величина признака равна 13, а дисперсия – 174. Определите коэффициент вариации.

Задание 22. Дисперсия признака равна 25. Средний квадрат его индивидуальных значений равен 250. Определите среднюю величину признака.

Задание 23. Средняя величина признака в совокупности равна 15, средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от этой средней равен 25. Определите средний квадрат отклонений индивидуальных значений этого признака: а) от 20; б) от 10.

Задание 24. Средний квадрат отклонений вариантов признака от произвольной величины 30 равен 136, средняя величина равна 20. Определите среднее квадратическое отклонение вариантов признака от их средней величины.

Задание 25. Средний квадрат отклонений вариантов признака от некоторой произвольной величины равен 500, а разность между этой произвольной величиной и средней равна 14. Определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задание 26. Средний квадрат отклонений от произвольной величины равен 300. Эта величина больше средней на 12 единиц. Определите дисперсию.

Задание 27. Имеются данные о производительности труда 10 продавцов разных секций.

Секция «Галантерея»		Секция «Парфюмерия»
№ п/п	Товарооборот за месяц, тыс. р.	№ п/п	Товарооборот за месяц, тыс. р.
1	20	6	30
2	25	7	30
3	20	8	35
4	20	9	40
5	25	10	30

Вычислите:

1) средний товарооборот для первой и второй секции и для двух секций в целом;

2) групповые дисперсии;

3) среднюю из групповых дисперсий;

4) дисперсию групповых средних;

5) общую дисперсию (по правилу сложения дисперсий);

6) эмпирическое корреляционное отношение.

Задание 28. Имеются данные о заработной плате работников торговли.

Группа торговых работников по размеру зарплаты, р.	800–1000	1000–1200	1200–1400	1400–1600	1600–1800	1800–2000
Число работников	20	80	160	90	40	10

Определите дисперсию зарплаты работников торговли способом моментов.