- •Міністерство освіти і науки,
- •Упорядники: в.І. Хаханов,
- •Рецензент: є.І. Литвинова, д-р техн. Наук, проф. Каф. Апот хнуре
- •1 Основні поняття теорії множин
- •1.1 Відношення приналежності та включення
- •1.2 Способи задання множин
- •1.3 Алгебра множин Кантора
- •1.4 Закони й тотожності алгебри множин
- •1.5 Контрольні запитання
- •2 Відповідності. Функції. Відображення
- •2.1 Поняття впорядкованої пари й вектора
- •2.2 Декартів (прямий) добуток множин
- •2.4 Функції. Відображення
- •2.5 Контрольні запитання
- •3 Відношення. Алгебра відношень
- •3.1 Поняття відношення
- •3.2 Операції над відношеннями
- •3.3 Алгебра відношень
- •3.4 Контрольні запитання
- •4 Бінарні відношення
- •4.1 Способи завдання бінарних відношень
- •4.2 Властивості бінарних відношень
- •4.3 Бінарне відношення еквівалентності
- •4.4 Контрольні запитання
- •5 Бінарне відношення порядку
- •5.1 Упорядковані множини. Бінарне відношення порядку
- •5.2 Типи порядку (лінійний, частковий, передпорядок)
- •5.3 Контрольні запитання
- •6 Структури. Алгебраїчні системи. Ізоморфізм
- •6.1 Структура
- •6.2 Дедекиндові (модулярні) структури
- •6.3 Дистрибутивні структури
- •6.4 Ізоморфізм множин
- •6.5 Контрольні запитання
- •7 Висновки до розділу «Теорія множин»
- •8 Позначення до розділу «Теорія множин»
- •9 Основні поняття булевої алгебри
- •9.1 Логічні операції й логічні функції
- •9.2 Закони й тотожності булевої алгебри
- •9.3 Доведення законів булевої алгебри
- •9.4 Контрольні запитання
- •10 Диз’юнктивні та кон’юнктивні нормальні форми (днф і кнф). Досконалі днф і кнф (дднф і дкнф)
- •10.1 Днф і кнф
- •10.2 Дднф і дкнф
- •10.3 Складність зображення булевих функцій
- •10.4 Теорема Шенона про розкладання булевих функцій
- •10.5 Контрольні запитання
- •11 Елементи логічних схем. Булеві функції від двох змінних
- •11.1 Фізичний зміст логічних функцій і, або, ні та їх схемотехнічне зображення
- •11.2 Таблиця аналітичного й схемотехнічного зображення булевих функцій від двох змінних
- •11.3 Властивості й аналітичні подання елементарних булевих функцій від двох змінних
- •11.4 Приклади розв’язання практичних завдань
- •11.5 Контрольні запитання й завдання
- •12 Способи зображення булевих функцій
- •12.1 Табличний спосіб зображення булевих функцій
- •12.2 Числовий спосіб зображення булевих функцій
- •12.3 Аналітична форма запису булевих функцій
- •12.4 Геометрична інтерпретація булевих функцій
- •12.5 Кубічна форма зображення булевих функцій
- •12.6 Схемотехнічне зображення
- •12.7 Контрольні запитання й завдання
- •13 Системи функцій алгебри логіки. Функціональна повнота
- •13.1 Класи булевих функцій
- •13.2 Повнота функцій алгебри логіки
- •13.3 Контрольні запитання
- •14 Булеві похідні
- •14.1 Булеві похідні першого порядку
- •14.2 Фізичний зміст булевої похідної першого порядку
- •14.3 Змішана похідна -го порядку
- •14.4 Булеві похідні k-го порядку
- •14.5 Контрольні запитання
- •15 Мінімізація булевих функцій. Методи квайна і квайна-мак-класки
- •Булеві функції застосувуються при реалізації логічних схем. Різні вирази однієї й тієї ж функції представляють різні схеми.
- •15.1 Основні положення методу квайна
- •15.2 Мінімізація булевих функцій за методом Квайна-Мак-Класки
- •15.3 Контрольні запитання
- •16 Мінімізація булевих функцій: метод невизначених коефіцієнтів
- •16.1 Основні припущення
- •16.2 Алгоритм знаходження невизначених коефіцієнтів
- •16.3 Контрольні запитання
- •17 Мінімізація булевих функцій: метод карт карно
- •17.1 Основні положення
- •17.2 Спрощений стандарт карт Карно
- •17.3 Мінімізація за картами Карно
- •17.4 Контрольні запитання
- •18 Висновки до розділу «булева алгебра»
- •19 Позначення до розділу «булева алгебра»
- •Перелік посилань
- •Упорядники хаханов Володимир Іванович
11.2 Таблиця аналітичного й схемотехнічного зображення булевих функцій від двох змінних
Фізичній схемі послідовного з’єднання (див. рис. 11.4,а) відповідає логічний примітив (блок) – двовхідний кон’юнктор, а схемі паралельного з’єднання (див. рис. 11.4, б) – диз’юнктор, схемі з інверсією (див. рис. 11.6) – інвертор. Елементи логічних схем і відповідні їм функції описані в таблиці 11.1.
Таблиця 11.1. Елементи логічних схем
НАЗВА |
ПОЗНАЧЕННЯ |
СХЕМА |
Константа нуль | ||
Кон’юнкція | ||
Ліва зворотна імплікація (коімплікація) | ||
Повторювач по | ||
Права зворотна імплікація | ||
Повторювач по | ||
Сума за mod 2 (нерівнозначність, нееквівалентність) | ||
Диз'юнкція | ||
Функція Вебба | ||
Функція рівнозначності (еквівалентності) | ||
Заперечення по | ||
Права імплікація (якщо , те ) | ||
Заперечення по | ||
Ліва імплікація (якщо , те ) | ||
Функція Шеффера | ||
Константа одиниця |
Значення перерахованих булевих функцій від двох змінних наведені в таблиці 11.2.
Таблиця 11.2 – Значення булевих функцій від двох змінних з таблиці 11.1
Усвітовій літературі мають місце наступні IEEE-Стандарти для позначень примітивів основних трьох булевих функцій (рис. 11.7).
а
б
в
Рисунок 11.7 – IEEE-Стандарти логічних блоків: дво- і n-входовий кон’юнктор (а); дво- і n-входовий диз’юнктор (б), інвертор (в)
11.3 Властивості й аналітичні подання елементарних булевих функцій від двох змінних
Функція додавання за mod 2: .
Справедливі комутативний і асоціативний закони:
, (11.1)
. (11.2)
Дистрибутивний закон має вигляд:
. (11.3)
Мають місце аксіоми:
,,,.
Зв'язок суми за модулем два з функціями кон’юнкції, диз'юнкції, інверсії встановлюється за формулами:
; (11.4)
; (11.5)
. (11.6)
Функція імплікації: .
Імплікація має властивість комутативності у вигляді:
. (11.7)
Асоціативний закон не виконується:
. (11.8)
Аксіоми: ;;;
;;.
Установлюється зв'язок кон’юнкції, диз’юнкції, інверсії через імплікацію за такими формулами:
; (11.9)
; (11.10)
. (11.11)
Функція Шефера має позначення | − штрих Шефера й обчислюється за формулою (інверсія кон’юнкції): .
Властивість комутативності для двох змінних виконується:
, (11.12)
асоціативність не виконується:
. (11.13)
Аксіоми: ;;;;;.
Формули перетворення:
; (11.14)
; (11.15)
. (11.16)
Функція Веба (Пірса) позначається за допомогою символу − стрілка Пірса й обчислюється за формулою (заперечення диз’юнкції):
.
Властивість комутативності виконується:
. (11.17)
Аксіоми: ;;;.
Формули перетворення функцій кон’юнкції, диз’юнкції, інверсії через функцію Веба:
; (11.18)
; (11.19)
. (11.20)
Таким чином, розглянуто аналітичне й схемотехнічне зображення основних булевих функцій від двох змінних, які використовуються при синтезі й аналізі логічних схем
Функції AND і OR є найбільш важливими логічними функціями, які разом з функцією NOT максимально наближені до апаратурної реалізації цифрових систем. Вони можуть бути використані як примітивні елементи для побудови й реалізації логічних схем.