- •Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
- •Подведение под знак дифференциала
- •Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
- •Примеры
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Подведение под знак дифференциала
- •Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
- •Примеры
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
- •Производная сложной функции.
- •Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
Билетыкэкзаменупоматематике за2семестр.1 курс.
1.Неопределенный интеграл. Первообразная.
2.Свойства неопределенного интеграла.
3.Интегрирование по частям. Замена переменной в интеграле.
4.Метод A и B – интегрирование в неопределенно-рациональных выражениях.
5.Определенный интеграл и его свойства.
6.Интеграл с переменным верхним пределом.
7.Формула Ньютона-Лейбница.
8.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Основные замены.
9.Предел функции многих переменных.
10.Непрерывность функции многих переменных.
11.Частные производные и частные дифференциалы.
12.Дифференцируемость функций многих переменных.
13.Производная сложной функции.
14.I и II дифференциал и инвариантность.
15.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
16.Формула Тейлора.
17.Дифференциальные уравнения I порядка. Общие и частные решения. Общие понятия.
18.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
19.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
20.Понижение порядка.
21.Линейная зависимость/независимость сложных функций. Определитель Вронского.
22.Фундаментальная система решений дифференциального уравнения.
23.Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. (Теорема о сумме общего и частного решений.)
24.Метод Лагранжа. Вариация произвольных постоянных.
25.Связь дифференциального уравнения с системой уравнений.
26.Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
27.Матричный метод решения систем с постоянными коэффициентами
1. Неопределенный интеграл. Первообразная.
2. Свойства неопределенного интеграла.
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
Определение первообразной.
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо
равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла.
Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .
Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией.
Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
1.Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
2.Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
4.Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.
Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.
Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:
•первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
•второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.
3. Интегрирование по частям. Замена переменной в интеграле.
Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.
Формула интегрирования по частям следующая
.
То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x)на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности
. Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.
В качестве примера найдем множество первообразных функции логарифма.
Пример.
Найти неопределенный интеграл
Решение.
Найдем этот неопределенный интеграл методом интегрирования по частям. В качестве
функции u(x) возьмем ln(x), а в качестве d(v(x)) оставшуюся часть подынтегрального выражения, то есть dx.
Имеем, , где .
Дифференциал функции u(x) есть , а функция v(x) – это
.
ЗАМЕЧАНИЕ: константу С при нахождении функции v(x) считают равной нулю.
Теперь все подставляем в формулу интегрирования по частям:
Ответ:
Подведение под знак дифференциала
Данный метод эквивалентен методу замены переменной (см. далее):