- •Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
- •Подведение под знак дифференциала
- •Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
- •Примеры
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Подведение под знак дифференциала
- •Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
- •Примеры
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
- •Производная сложной функции.
- •Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой
Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где
— функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
Интегрирование выражений вида
Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t. Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.
Примеры
Вычислить: Пусть тогда и
Интегрирование по частям
Основная статья: Интегрирование по частям
Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
Или:
В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл где — многочлен -й степени.
Интегрирование рациональных дробей
Основная статья: Разложение дробей при интегрировании
Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.
Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.
9.Предел функции многих переменных.
10.Непрерывность функции многих переменных.
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1. Вводные понятия. Пусть дано множество , и пусть указано правило, по которому каждой точке соответствует некоторое число . В этом случае говорят, что задана функция
с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а –зависимой переменной (функцией).
Функцию часто записывают в виде «». Схематично функция может быть изображена так, как это показано на рис. 1.
Рис.1.
Пример. На множестве
определим функцию
; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить,
конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и .
Графиком функции называют множество
точек ; обычно графиком является некоторая поверхность (рис. 2).
При построении графика функции часто пользуются методом сечений.
Пример. Построить график функции |
и найти |
. |
Рис.2. |
Воспользуемся методом сечений.
–в плоскости – парабола.
–в плоскости –парабола.
–в плоскости –
окружность.
Искомая поверхность – параболоид вращения (рис. 3). ^ |
Рис.3. |
Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова)
пространства называется число
.
Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке
, – окружностью радиуса с центром в точке .
Открытый круг радиуса с центром в точке называется -
окрестностью точки .
Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки
, целиком принадлежащая множеству (т.е. ) (рис.
4).
Определение. Точка |
называется граничной точкой множества |
|
, если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству |
, так и не |
|
принадлежащие ему (рис. |
Рис.4. |
|
5). |
|
Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.
Определение. Множество называется откры-тым, если все его точки – внутренние.
Определение. Множество называется замк-нутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества
. Рис.5.
Пример. Если , то . При этом
. Покажите это!
Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .
Образно говоря, точка называется предельной точкой множества , если «к точке можно
подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму точку ». Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.
Пример. Множество совпадает с множеством своих предельных точек.
Множество имеет единственную предельную точку
. Покажите это!
2. Предел функции.
Определение. Будем говорить, что последовательность точек сходится при к точке , если при .
В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут:
при .
Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно , (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна по координатной сходимости).
Пусть и – предельная точка множества .
Определение. Число называют пределом функции при , если для
такое, что , как только . В этом случае пишут
или |
при |
. |
При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от
предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на
плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.
Пример. Найти .
Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой . Тогда
.
Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от . ^
Пример. Найти .
По любой прямой предел один и тот же:
.
С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда
;
следовательно, предел не существует. ^
Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда , (остальное – по аналогии).
Определение. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство
. Этот факт коротко записывают так:
.
Теорема 1. Если существуют и , то:
;
;
,
где предельная точка может быть конечной или бесконечной.
Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.
3. Непрерывность функции. Пусть дана функция с областью определения и пусть
– предельная точка множества .
Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если:
1);
2) |
, т.е. |
. |
Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим
, и .
Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство
.
Теорема 2. Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , , а если , то и функция .
Если мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как функции, непрерывной в каждой точке множества, то само определение непрерывности в точке требует, чтобы каждая точка
множества принадлежала ему (либо с некоторой своей -окрестностью, либо как его граничная точка).
Определение. Множество называется областью, если оно:
1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей - окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек
существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в .
Если – область, то множество называют замкнутой областью.
Определение. Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области ),
если непрерывна в каждой точке этого множества.
4. Непрерывность по отдельным переменным. Зафиксируем переменную , полагая , а
переменной придадим произвольное приращение . Функция получит приращение
,
которое называется частным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Заметим, что является функцией одной переменной . Аналогично,
.
Определение. Функция называется непрерывной в точке по переменной
(по переменной ), если
().
В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции называют иногда непрерывностью по совокупности переменных.
Теорема 3. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.
Обратное утверждение неверно.
Пример. Докажем, что функция
непрерывна в точке по каждой переменной и , но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных.
Рассмотрим частное приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента :
.
Очевидно, что , а это означает, что непрерывна в точке по переменной
.
Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .
Покажем, что предел |
не существует. Пусть точка |
стремиться к точке |
по прямой , проходящей через точку . Тогда получим
.
Таким образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция не является непрерывной в этой точке.
11. Частные производные и частные дифференциалы.
1. Частные производные первого порядка. Пусть функция определена в области
и |
. |
Тогда |
при |
малых |
определено |
ее |
частное |
приращение |
по : |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Частной |
производной функции |
по |
переменной |
в |
точке |
|
|||
называют предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
если он существует.
Частную производную по обозначают одним из следующих символов:
.
Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения.
Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.
Пример. Найти частные производные функции .
Имеем:
|
|
, |
. ^ |
2. |
Частные производные |
высших порядков. Рассматривая частные |
производные |
и |
как функции от |
, приходим к понятиям частных производных второго порядка. А |
|
именно, выражения |
|
|
,
называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения
,
– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также
символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.
Теорема 4. Если в некоторой |
окрестности точки |
функция |
имеет |
|
смешанные частные производные |
и |
, причем эти производные непрерывны в точке |
, |
|
то они равны в этой точке: |
|
|
|
|
= |
. |
Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке .
Теорема 4 допускает обобщение: по индукции ее можно распространить на любые непрерывные смешанные частные производные.
Приращение, которое получает функция Z=f(x, y), когда изменяется только одна из переменных, называется частным приращением функции по соответствующей переменной: xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), yZ=f(x,y+Δy)-f(x,y).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частным дифференциалом по х функции Z=f(x, y) называется главная часть частного приращения xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), пропорциональная приращению Δx независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е. yZ=f(y+Δy,x)-f(x,y).
Дифференциалы независимых переменных х и у просто равны их приращениям, т.е. dx=Δx, dy=Δy. Частные дифференциалы обозначаются так: dxZ -частный дифференциал по х, dyZ - частный дифференциал по у. При этом:
Таким образом, частный дифференциал функции двух независимых переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной.
Таким же образом, как для функции двух переменных, определяются частные приращения и частные дифференциалы функций любого числа независимых переменных.
12. Дифференцируемость функций многих переменных.