Критерий Сильвестра

Тип квадратичной формы можно определить, не приводя ее к каноническому виду. Следующий ниже критерий Сильвестра позволяет определить тип квадратичной формы по знакам угловых миноров ее матрицы.

Рассмотрим угловые миноры (), являющиеся определителями подматриц матрицы квадратичной формы:

Теорема 6 (критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы). Квадратичная форма является:

1) положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицыположительны:

()

2) отрицательно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицыотличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус:

В заключение приведем таблицу оценки знакоопределенности квадратичных форм по двум основным критериям.

Квадратичная форма	Обозна- чение	Оценка знакоопределенности формы
		по главным минорам матрицы квадратичной формы	по собственным значениям матрицы квадратичной формы
положительно определенная		если все угловые миноры матрицы положительны: ()	если все собственные значения положительны
отрицательно определенная		если все угловые миноры матрицы отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус:	если все собственные значения отрицательны
неотрицательно определенная		если все угловые миноры матрицы неотрицательны:()	если все собственные значения неотрицательны
неположительно определенная		если в угловых минорах матрицы чередуются знаки, причем:	если все собственные значения неположительны
знакопеременная			среди собственных значений имеются как положительные, так и отрицательные

Пример 6. Исследовать на знакоопределенность следующие квадратичные формы от двух переменных

, ,

, .

Решение.

1) Матрица формы имеет вид

.

Ее угловые миноры равны

, .

Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры положительны, квадратичная форма являетсяположительно определенной.

2) Матрица формы имеет вид

.

Ее угловые миноры равны

, .

Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры матрицы отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус, то квадратичная форма являетсяотрицательно определенной.

3) Матрица формы имеет вид

.

Ее угловые миноры равны

, .

Так как в этом случае второй угловой минор отрицателен, то согласно таблице квадратичная форма являетсязнакопеременной.

4) Матрица формы имеет вид

.

Ее угловые миноры равны

, .

Так первый угловой минор положителен, а второй угловой минор равен нулю, то согласно таблице квадратичная форма являетсянеотрицательно определенной.

Заметим, что в данном случае

.

Пример 7. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму от трех переменных

.

Решение. Матрица формы имеет вид

.

Ее угловые миноры положительны:

, ,.

Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры положительны, то квадратичная форма является положительно определенной.

Практикум №3. Квадратичные формы