Математические методы описания дискретных систем Решетчатые функции

Наряду с функциями, определенными на всей вещественной прямой t, можно рассматривать функции, которые определены только в некоторых точках t₁,t₂… Такие функции называют решетчатыми. Мы будем рассматривать функции, определенные только в равноотстоящих точках t=nT, где n- любое целое число, а T- постоянная, называемая периодом дискретности. Эти функции принято обозначать f[nT].

f[ nT]

-3Т -2Т -Т 0 Т 2Т 3Т

Любой непрерывной функции f(t) можно поставить в соответствие некоторое множество решетчатых функций, если представить переменную t в виде

t=nT+T (01)

При каждом фиксированном значении переменной  функцию f(nT+T) можно рассматривать как решетчатую функцию, определенную в точках T, (+1)T, (+2)T,… Такие функции называются смещенными решетчатыми функциями. Для них принято обозначение f(nT+T)=f[nT, T]. Изменяя  в пределах от 0 до 1, можно получить множество смещенных решетчатых функций f[nT, T], соответствующих данной непрерывной функции f(t).

f[t]

f[nT,0]

-T 0 T 2T 3T

f[nT,ε₁T]

ε₁T

f[nT,ε₂T]

ε₂T

Благодаря непрерывности функции f(t), функция f[nT, T] является непрерывной по аргументу  и удовлетворяет условию:

f[(n-1)T, T]=f[nT, 0]

Если функция f(t) терпит разрыв непрерывности первого рода в точках t=nT, то написанное равенство не выполняется поскольку

lim f[(n-1)T, T]  lim [nT, T]

1 0

В этом случае под значением функции будем понимать предел справа.

f[nT] = lim f[nT, T]

0

В соответствии с этим значение  рассматриваются на полуинтервале

0<1

Функции f[nT, t] являются функциями двух переменных (аргументов) n и , поэтому целесообразно обозначать эти функции как

f₁[n, ] = f[nT, T),

в частности при =0, обозначают

f₁[n] = f[nT, 0]

В тех случаях, когда это не может вызвать недоразумений, индекс единицу будем опускать.

Для решетчатых функций вводится понятие конечных разностей и сумм, которые в некотором смысле соответствуют понятиям производной и интеграла для обычных функций.

Выражение f[n] = f[n+1] – f[n] (1)

называется конечной разностью первого порядка решетчатой функции. Для краткости f[n] называют просто первой разностью. Первая разность от решетчатой функции f[n] называется разностью второго порядка решетчатой функции f[n] или просто второй разностью, т.е.

²f[n] = f[n+1] - f[n] (2)

Разность k-го порядка решетчатой функции f[n]

^kf[n] = ^k-1f[n+1] - ^k-1f[n] (3)

Разность любого порядка можно выразить через значение решетчатой функции f[n]. В частности для второй разности получим

²f[n]= f[n+1]-f[n]={f[n+2]-f[n+1]}-{f[n+1]-f[n]}= f[n+2]-2f[n+1]+f[n] (4)

Аналогично для третьей разности найдем

³f[n]= f[n+3]-3f[n+2]+3f[n+1]-f[n] (5)

Для разности k-го порядка справедлива формула

^kf[n] =(-1)^( )f[n+k-], (6)

где ( )= C_k^=

Полученные формулы, определяющие разности решетчатых функций, позволяют выразить саму решетчатую функцию f[n] через разности различных порядков. Так из (1) получим

f[n+1]= f[n]+ f[n] (7)

Из (1) и (2)

²f[n]=f[n+2]-f[n+1]-f[n]=f[n+2]-f[n+1]+f[n+1]-f[n]-2f[n]=f[n+2]-f[n]-2f[n]

Откуда f[n+2]=f[n]+2f[n]+ ²f[n]

Продолжая, получим следующую формулу

f[n+l]=( )^k f[n] (8)

или в частности при n=0

f[l]= ( )^k f[0] (9)

Формулы (8) и (9) выражают значение решетчатой функции через ее конечные разности до порядка l включительно. Эти формулы являются дискретным аналогом разложения непрерывных функций в ряд Тейлора.

Пример. f[n] = a, где a- cont. Найти  f[n]

 f[n]=f[n+1]-f[n]= a-a=0

f[n]=an+b, найти  f[n]

 f[n]=a(n+1)+b-an-b=a

² f[n]=  a=0

f[n]=n²

 f[n]=(n+1)²-n²=2n+1

² f[n]=  f[n+1]-  f[n]=2(n+1)+1-2n-1=2

³ f[n]=0

f[n]=e^{ n}

 f[n]= e^{ (n+1)}- e^{ n}= e^{ n}(e^ -1)

² f[n]= (e^ -1)  e^{ n}= e^{ n}(e^ -1)²

^k f[n]= e^{ n}(e^ -1)^k

Рассмотрим теперь операцию, которая является обратной по отношению к операции взятия конечной разности. Пусть решетчатая функция f[n] определена при положительных значениях аргумента n=0, 1, 2,… Требуется найти такую решетчатую функцию F[n], для которой функция f[n] является первой разностью.

Эта задача аналогична задаче о нахождении первообразной в анализе обычных функций. Искомая функция имеет вид

F[n] = f[k] (n=1,2,…)

Действительно,

F[n]= F[n+1]-F[n]= f[k]- f[k]= f[n]

Функцию F[n] называют первообразной для f[n].

Если решетчатая функция f[n] определена при всех целочисленных значениях аргумента n=0,±1, ±2, … то для определения первообразной необходимо дополнительно потребовать, чтобы при каждом конечном n сходился ряд f[k]. При этом условии первообразная определяется выражением

F[n]= f[k].

Если функция F[n] является первообразной для f[n], то и функция F[n]+C, где С = const, также является первообразной для решетчатой функции f[n]. Действительно

[F[n]+C]= F[n]+ C=f[n].

Таким образом, общий вид первообразной для решетчатой функции f[n] определяется формулой

F[n]=f[k]+C

Значение постоянной С можно выразить через значение первообразной при некотором фиксированном значении аргумента n=N

C=F[N] - f[k]

Подставляя это выражение в предыдущее, найдем

F[n]=f[k]+F[N] - f[k]=f[k]+F[N]

Откуда

F[n]-F[N]=f[k] для любого n>N

Последняя формула является аналогом соответствующей формулы интегрального исчисления, связывающей интеграл с первообразной. Ее можно записать в виде

F[N+l]-F[N]= f[k]= f[N+] (l=1,2,…)

Сумму, стоящую в правой части этого выражения, иногда называют определенной суммой по аналогии с определенным интегралом.