ТОЭ3 / Примеры решения задач по Теме 1

После преобразования в схеме сохранились неизменными значения токов I , I4 , I5 тех участков схемы, которые не подвергались

преобразованию. Ток в неразветвленной части схемы:

I =U / R =114 / 38 =3 А.

Токи в параллельных ветвях:

	I4	= I	R′′	= 3	18	=1	А; I5	= I	R′	= I − I4	= 2 А.
			R′+ R′′		36 +18				R′+ R′′

Теперь найдем токи в ветвях, подвергшихся преобразованию. Для этого, воспользовавшись законом Ома и вторым законом Кирхгофа, по схеме рис. 1.3.2 определим напряжения между точками a и b, a и с, с и b, d и g, f и g, f и d:

Uab = r1I + r2 I4 = 6 3 +6 1 = 24 В;

Uac = r1I + r3I5 = 6 3 + 2 2 = 22 В;

Ucb =Uab −Uac = 24 −22 = 2 В;

Udg = r4 I4 + r6 I = 4 1+20 3 = 64 В;

U fg = r5 I5 + r6 I = 5 2 +20 3 = 70 В;

U fd =U fg −Udg = 70 −64 = 6 В.

Искомые токи определяем по закону Ома:

I1 =Uab / R1 = 24 / 30	= 0,8 А;	I2 =Uac / R2 = 22 /10 = 2,2 А;
I3 =Ucb / R3 = 2 /10	= 0,2 А;	I6 =U fd / R6 = 6 /10 = 0,6 А;
I7 =Udg / R7 = 64 / 40 =1,6 А;		I8 =U fg / R8 = 70 / 50 =1,4 А.

4. Для электрической схемы рис. 1.4.1 определить мощность потерь в резисторе с сопротивлением R3 = 3 Ом, если R1 = 10 Ом; R4 = 5

Ом; R5 = 2 Ом; J1 = 20 А; J2 = 20 А.

11

R1	I3	R3
J1	R4	R5	J	2

Рис. 1.4.1

Решение

Преобразуем источники тока J1 и J2 в эквивалентные источники ЭДС (рис. 1.4.2). Значения ЭДС эквивалентных источников:

E1 = R4 J1 = 5 20 = 100 В; E2 = R5 J2 = 2 20 = 40 В.

		R4	I3	R3		R5
	E1						E2

Рис. 1.4.2

Ток и мощность потерь в исследуемом резисторе:

I	3	=		E1 − E2		=	100 −40	= 6 А; P		= R I 2 = 3 62 =108 Вт.
			R3	+ R4 + R5		3 +5 + 2			3	3	3
				Расчет цепей постоянного тока
				на основе уравнений Кирхгофа
		5. Найти токи в схеме рис. 1.5.1 и составить баланс мощно-
стей,	если E1 = 15 В;					E2 = 70 В; E3			= 5 В; r1 = r2 = 1 Ом; r3 = 2 Ом;
R1 = 5 Ом;				R2 = 4 Ом; R3 = 8 Ом; R4					= 2,5 Ом;		R5 = 15 Ом.

12

E1	r1	a	I2	E2	r2
I1		E3	I5		III
				R5
I		r3
					R2
R1
		R3	II
		I3
		b		R	c
					I4
				4

Рис. 1.5.1

Решение

Выберем и обозначим стрелками условные положительные направления токов и направления обхода трех независимых контуров: I, II, III. Составим систему уравнений по законам Кирхгофа:

для узла a: − I1 + I2 − I3 − I5 = 0 ;							(1.1)
для узла b: I1 + I3 + I4 = 0 ;							(1.2)
для контура I:	(R1 + r1)I1 −(R3 + r3 )I3 = E1 + E3 ;						(1.3)
для контура II:	(R3 + r3 )I3 − R4 I4 − R5I5 = −E3 ;						(1.4)
для контура III:	(R2 + r2 )I2 + R5I5 = E2 .						(1.5)
После подстановки			числовых	значений уравнения(1.3)–(1.5)
принимают следующий вид:
			6I1 −10I3 = 20 ;				(1.3a)
	10I	3	− 5,I2 −15I		5	= −5;	(1.4a)
			4
			5I2 +15I5 = 70 .				(1.5a)
Решая систему уравнений (1.1), (1.2), (1.3а)–(1.5а), получим:
I1 = 5 А, I2 = 8 А;			I3 =1 А;		I4 = −6 А; I5 = 2 А.

13

Баланс мощностей для рассматриваемой схемы:

E I + E	2	I	2	− E I	3	= I 2				(R + r ) + I 2							(R + r ) + I 2											(R + r ) + I 2 R + I 2 R ,
1 1				3		1				1			1	2			2					2			3			3		3	4	4	5	5
или
15 5 + 70 8 −5 1 = 52 6 +82 5 +12 10 + 62																														5, +2 22 15 ,
имеем тождество: 630 = 630 .
1.6. Найти все токи в схеме рис. 1.6.1, если E1 = 40 В;																																E2 = 20 В;
E4 =10 В; J6 = 3 А; R1 = 5 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 20 Ом; R5 =10 Ом.
																	1
																				I2
									I5																					J6
													I								E2
									R5
											E1			R1 I I											R3
						2											1					3								3
																	4
																	II								E4
											I4				R4
															Рис. 1.6.1

Решение

Выберем направления токов в ветвях, как показано на рис. 1.6.1, и составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3:

− I2 + I5 − J6 = ; 0 I1 + I4 − I5 = ; 0 I3 + I4 − J6 = 0.

В схеме три независимых контура. По второму закону Кирхгофа уравнения составляем только для контуров I и II, в которые не входит ветвь с источником тока. Выбрав направления обхода этих контуров, как показано на рис. 1.6.1, запишем:

R1 I1 + R5 I5 = E1 + E2 ;

R1 I1 + R3 I3 − R4 I 4 = E1 − E4 .

14

Полную систему уравнений, составленных по законам Кирхгофа, можно представить в матричной форме:

	0	−1	0	0
	1	0	0	1
	0	0	1	1
		0	0	0
R1
R		0	R	− R
	1		3	4

1

−1

0

R5

0

I1
I2
I3			=
I4			E1
I	5		E
				1

J6
0
J6
+
	E2

− E4

Подстановка значений параметров элементов дает уравнение

0 −1 0	0	1			I1				3
	1								0
1 0 0		−1			I2
0 0 1	1	0			I3		=		3
	0	10
5 0 0					I4			60
	− 20 0
5 0 5					I5			30
Решаяполученноематричноеуравнение, находимзначениятоков:
I1 = ,8823 А; I2 = ,0581 А;	I3 =	,823 А;			I4 =			,1760 А; I5 = ,0584 А.

15