§ 5.Предельная относительная погрешность

Последний верный разряд в приближенном числе связан с абсолютной погрешностью. Относительная погрешность связана с числом верных знаков в нем.

На практике для быстрой оценки погрешности бывает полезно оценить предельнуюотносительную погрешность_пр. Она определяется следующим образом. В приближенном числе все цифры, кроме первой значащей заменяются нулями, а абсолютная погрешность полагается равной половине единицы низшего верного разряда. Например, в числе 45738 три цифры верные, тогда_пр =(50 / 40000)100% = 0,12%. Очевидно, что_пр.

В процессе промежуточных вычислений часто встает вопрос, какие разряды в числе следует оставлять, а какие, заведомо неверные, можно сразу отбросить, чтобы упростить расчеты. Оценить _пр очень легко, а ее знание позволяет предсказать сколько верных знаков должно иметь приближенное число.

Поскольку любое округление вносит систематическую ошибку, то при вычислении окончательного результата приходится производить действия с числом значащих цифр, превышающим на единицу число значащих цифр, полученных при измерениях, чтобы в последующем округлить результат.

§ 6 Действия с приближенными числами.

При сложении и вычитании приближенных чиселабсолютная погрешностьсуммы не может быть меньше чем абсолютная погрешность наименее точного слагаемого (см. формулы 22 и 23), поэтому сумму (разность) необходимо считать с точностью до того же разряда, что и наименее точное слагаемое.

Примеры:

Неправильно	Правильно	Почему неправильно
17,55 + 13,45 =31	17,55 + 13,45 =31.00	В обоих слагаемых известны разряды сотых, этот разряд должен быть и в сумме.
44 11,3 =32,7	44 11,3 =33	В первом слагаемом неизвестен разряд десятых, невозможно его знать и в результате
12 + 12,25 =24,25	12 + 12,25 =24	В первом слагаемом неизвестны разряды десятых и сотых, невозможно их знать и в результате
0,571 + 0,429 =1	0,571 + 0,429 =1,000	В обоих слагаемых известны разряды тысячных, этот разряд должен быть и в сумме

Однако следует заметить, что в процессе вычислений один лишний разряд необходимо оставлять, чтобы в последующем округлить результат.

Надо иметь в виду, что при вычитании близких друг к другу приближенных чисел с большим числом верных цифр, в результате получается число с меньшим числом верных цифр, т.е. с большей относительной погрешностью. Например: 345,67 – 345, 65 = 0,02. Предельная относительная погрешность уменьшаемого и вычитаемого составляет 0,017%, а для разности она равна 25%. Следует составлять схемы расчетов так, чтобы избегать подобных ситуаций.

При умножении и делении относительная погрешность результатаопределяется относительными погрешностями исходных чисел (а значит числом верных знаков в них), и, следовательно, не может быть меньше, чем относительная погрешность наименее точного сомножителя. (см. формулу 24). А число значащих цифр в произведении не может быть больше чем в наименее точном сомножителе.

Примеры:

Неправильно	Правильно	Почему неправильно
1,45 19 =27,55	1,45 19 =28	Второй сомножитель имеет две значащих цифры, его относительная погрешность около 2%, результат невозможно получить с большей точностью.
625 : 125 =5	625 : 125 =5,00	В делимом и делителе по три значащих цифры, их относительные погрешности около 0,5% - относительная погрешность результата - порядка 1%.
95 : 27 =3,518	95 : 27 =3,6	Делитель имеет относительную погрешность около 2%, результат невозможно получить с большей точностью.
1,25 0,800 =1	1,25 0,800 =1,00	В обоих сомножителях по три значащих цифры, их относительные погрешности около 0,5% - относительная погрешность произведения - порядка 1%.

При умножении или делении на точноечисло, относительная погрешность результата равна относительной погрешности приближенного числа, и в результате сохраняют столько же знаков, сколько их было в приближенном числе.