- •Математическое обеспечение сапр.
- •Лекция №2
- •Устойчивость явного и неявного методов временного анализа.
- •Временной анализ с повышенной точностью.
- •Прогноз начальных условий.
- •Временной анализ нелинейных схем.
- •Линеаризация нелинейных схем. Разложим функцию в ряд Тейлора относительно точкиUk:
- •Определение производных в сложных функциях.
- •Линеаризация системы нелинейных уравнений.
- •Лекция №5 Алгоритмические модели схем во временной области.
- •Анализ добротных схем, минуя переходной процесс.
- •Лекция №6
- •Алгоритм определения стационарного режима автогенератора.
- •Лекция №7 Частотный анализ схем
- •Прямой метод формирования матрицы проводимости.
- •Лекция №8 Узловой анализ схем с комплексными коэффициентами.
- •Частотный анализ нелинейных схем. Метод гармонического баланса.
- •Узловое уравнение с нелинейными коэффициентами.
- •Метод решения нелинейных алгебраических уравнений – метод простых итераций.
- •Формирование нелинейных уравнений с2м-полюсником. Формирование 2м-полюсников.
- •Очевидно, что
Устойчивость явного и неявного методов временного анализа.
Рассмотрим на примере:
Емкость зарядили до uc0, а затем в какой-то момент времени разрядили на резистор R. Из курса электротехники известно, что, начиная с момента времени замыкания ключа, график uL имеет вид:
Опишем эту схему:
Т.е.
, где .
, .
Явный и неявный методы основаны на методах Эйлера. Рассмотрим их устойчивость.
По методу Эйлера
h – шаг квантования (дискретизации).
Тогда для нашего примера:
, x0 принимаем равным 1.
, из дискретной математики, если Z > 1 то система неустойчива.
.
, таким образом, при h > , Z > 1 система не устойчива.
Вывод:
В явном методе есть возможность численной неустойчивости, все зависит от дискретизации. Для нашего примера:
h <
То есть, используя явный метод необходимо использовать h не большую, чем минимальная постоянная времени всей системы.
Для неявного метода:
,
то есть для любого шага h Z < 1, то есть этот метод всегда устойчив. Поэтому этот метод используется чаще.
Лекция №3.
Временной анализ с повышенной точностью.
Главное требование при модулировании реальных схем на компьютере - точность .
Из прошлой лекции:
, xi+1 – текущее значение, xi – предыдущее значение.
Эта формула не точна, она лишь приближение к реальной модели.
Существует теорема Вайерштрасса:
Любую функцию можно аппроксимировать степенным рядом степени m в заданном интервале с прогнозируемой ошибкой.
Представление степенной функции:
Для того чтобы применить теорему Вейерштрасса необходимо задать M +1 коэффициентов. По известным точкам составляются уравнения:
Из этих уравнений получаем коэффициенты .
Для решения этой задачи используют метод «единичного полинома»:
Обозначим эту систему через , то есть только полином равен 1, остальные равны 0. Очевидно, решение системы упрощается (так как нет необходимости каждый раз вычислять ). Тогда
, (1)
то есть функция представляется степенным рядом, состоящим из единичных полиномов.
Единичный полином:
Возьмем производную от (1), получаем
Перепишем это выражение в виде:
,
введем замену , гдеh – дискрет по времени. Получим:
(2).
Эта формула носит название – «формула дифференцирования назад».
Коэффициенты вычисляются по формуле:
??
(Обычно M имеет порядок 6, точность порядка 10-6).
Рассмотрим (2) при M = 1:
где , то есть:
.
Прогноз начальных условий.
Теорема Вейерштрасса позволяет вычислять погрешности, а так же прогнозировать величину.
Пусть есть некая функция:
Нам известна величина , мы хотим определить близкое значение искомой функции, не решая уравнения, то есть спрогнозировать поведение функции.
Функция прогноза:
.
Этот прогноз будет участвовать в вычислении точности, представим эту формулы в виде:
где
.
Локальная ошибка вычисления производной (временного анализа).
Локальная ошибка определяется как:
,
где h – шаг по времени, – точное значение производной,–значение производной, полученное в результате аппроксимации.
Из теоремы Вейерштрасса эту ошибку можно вычислить по формуле:
,
где – полученное значение,– прогноз.
Очевидно, что для уменьшения ошибки необходимо либо уменьшить шаг дискретизации h, либо увеличивать временной интервал , на котором ведется аппроксимация.
Лекция №4.