ТАУ, дом.задание
.pdf
Домашнее задание №2 Исследованиеустойчивости линейной САУ
2.1 Теоретическое введение Устойчивость автоматической системы – это свойство системы
возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.
Точная и строгая теория управления систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А.М. Ляпуновым в
1892.
Здесь, на рисунке а), А0 – невозмущенное состояние, А2 – возмущенное состояние; на рисунке б) изображено неустойчивое состояние системы, а на рисунке в) – ее нейтральное состояние. По аналогии с состояниями можно ввести понятие возмущенного и невозмущенного движения.
Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением
a |
d n x t |
a d n 1x t |
... a |
dx t |
a |
|
x t 0 |
0 |
dtn |
1 dtn 1 |
|
n 1 dt |
|
n |
|
где x t xc t - свободная составляющая выходной величины системы.
Система является устойчивой, если свободная составляющая xc(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если
lim xc t 0 .
t
Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е. если
lim xc t ,
t
то система неустойчива.
Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.
Для определения устойчивости линейной непрерывной САУ можно применять следующее общее условие устойчивости (Правило Ляпунова):
21
Для устойчивости линейной автоматической системы управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системыбыли отрицательны.
a0 pn a1 pn 1 a2 pn 2 an 0 .
Основной недостаток правила Ляпунова, затрудняющий его непосредственное применение, заключается в необходимости поиска корней характеристического полинома. Существуют различные критерии (условия), позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения по его коэффициентам, не решая это уравнение.
Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические (Рауса и Гурвица), основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения, и частотные (Михайлова), основанные на анализе частотных характеристик.
Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением
a0 p a1 pn 1 ... an 1 p an 0,
устойчива, если при a0>0 положительны все определители ∆1, ∆2, . . .∆п вида
|
a1 |
a3 |
a5 ... |
0 |
0 |
|
|
a0 |
a2 |
a4 ... |
0 |
0 |
|
|
0 |
a1 |
a3 ... |
0 |
0 |
|
i |
0 |
a0 |
a2 ... |
0 |
0 |
, i 1, 2, n |
|
... ... ... ... ... |
... |
|
|||
|
0 |
0 ... ... |
a2i 3 |
0 |
|
|
|
0 |
0 ... ... |
a2i 4 |
a2i 2 |
|
|
Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆п=0, а все остальные определители неотрицательны, то система находится на
границе устойчивости.
Сформулируем необходимое условие устойчивости:
Для устойчивости линейной непрерывной САУ необходимо (но не всегда достаточно!), чтобы все коэффициенты ее характеристического полинома были положительны (одного знака).
Рассмотрим частные случаи применения критерия Гурвица для n=1; 2; 3; 4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнения первого порядка (n=1)
22
a0 p a1 0
условие устойчивости: а0>0 и ∆1=а1>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.
2. Для уравнения второго порядка (n=2)
a |
0 |
p2 a p a |
2 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
условие устойчивости: |
|
|
|
|
|
|
a0 0, 1 a1 0 |
|
|
|
|
||
2 a2 1 0 илиa2 |
0 |
|
||||
|
||||||
Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.
3. Для уравнения третьего порядка (n=3)
|
|
|
|
|
a |
0 |
p3 |
a p2 |
a |
2 |
p a |
3 |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
условие устойчивости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a0 0, 1 a1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a1 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a a |
|
a |
a |
|
0. |
|
a |
|
|
0 a |
|
0 |
|
||||||||
2 |
|
|
2 |
3 |
3 |
2 |
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
a0 |
a2 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).
4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)
a0 p4 a1 p3 a2 p2 a3 p a4 0
кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия
3 a1a2 a3 a0 a32 a12 a4 0 .
При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при
ai 0; i 1, n .
23
Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель ∆п-1 были положительными.
Алгебраический критерий устойчивости Рауса
Этот критерий устойчивости был в 1877 г. предложен английским математиком и механиком Э. Раусом в виде некоторого правила (алгоритма), которое наиболее просто поясняет таблица.
В первой строке таблицы записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четный индекс; во второй строке — коэффициенты с нечетным индексом. Любой из остальных коэффициентов таблицы определяют как
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ci j |
Ci 2 j 1 Ci 1 j 1 * i , i |
Ci 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ci 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В выражениях: j — индекс, означающий номер столбца таблицы; i – |
||||||||||||||||||||||||||||
индекс, означающий номер строки таблицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
C00 = a0 |
|
|
|
|
C01 = a2 |
|
|
|
|
|
C02 = a4 |
|
|
|
|
|
C03 = a6 |
… |
|||||||||
|
|
|
|
|
C10 = a1 |
|
|
|
|
C11 = a3 |
|
|
|
|
|
C12 = a5 |
|
|
|
|
|
C13 = a7 |
… |
|||||||||
|
2 |
|
C00 |
|
C |
20 |
C |
01 |
C * |
2 |
C |
21 |
C |
02 |
C * |
2 |
|
C |
22 |
C |
03 |
C * |
2 |
|
… |
… |
||||||
|
|
C10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
C10 |
|
C |
30 |
C C |
21 |
* |
3 |
C |
31 |
C C |
22 |
* |
3 |
|
C |
32 |
C C |
23 |
* |
3 |
|
… |
… |
||||||
|
|
C20 |
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
C20 |
C40 |
C21 C31 * 4 |
C41 C22 C32 * 4 |
|
C42 C43 C43 * 4 |
|
… |
… |
|||||||||||||||||||||||
C30 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
C30 |
|
C50 C31 C41 * 5 |
C51 C32 C42 * 5 |
|
C52 C33 C43 * 5 |
|
… |
… |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
C40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
||||
… |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
||||
|
|
|
|
Заметим, что число строк таблицы Рауса равно степени |
||||||||||||||||||||||||||||
характеристического уравнения плюс единица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
После |
того |
как |
таблица Рауса |
заполнена, по |
ней |
|
можно сделать |
|||||||||||||||||||||
суждение об устойчивости системы. Условие устойчивости Рауса формулируется так:
для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т. е. Ci 0 0
Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.
24
Частотный критерий устойчивости Михайлова
Пусть левая часть уравнения движения, называемая характеристическим полиномом, имеет вид
D( p) a0 pn a1 pn 1 ... an .
Подставим в этот полином вместо переменного р чисто мнимый корень, который в дальнейшем будем обозначать jw. Тогда получим функцию комплексного переменного
D( j ) a0 ( j )n a1 ( j )n 1 ... an ,
которую можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей:
D( j ) P( ) jQ( ) .
Действительная часть Р (ω) содержит только четные степени переменного ω
P( ) an an 2 2 an 4 4 ...,
а мнимая часть — только нечетные
Q( ) an 1 an 3 3 ....
Каждому фиксированному значению переменного ω соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. Если теперь изменять параметр (ω от 0 до ∞, то конец вектора D (jω) опишет некоторую линию (рис. а), которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.
25
Формулировка критерия Михайлова:
Автоматическая система управления, описываемая уравнением п-го порядка, устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ характеристический вектор системы D (jω) повернется против часовой стрелки на угол nπ/2, не обращаясь при этом в нуль.
Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении с ω до 0 до ∞ пройти последовательно через n квадрантов. Из приведенных выше выражений следует, что кривая D (jω) всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину ап.
Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам (рис. б), имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения. Если характеристическая кривая проходит п квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, система неустойчива (рис. в).
Если кривая D (jω) проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. Действительно, если характеристическое уравнение имеет один нулевой корень рk = 0 (апериодическая граница устойчивости) или одну пару чисто мнимых корней рk = ± jβk (колебательная граница устойчивости), то функция D (jω) при ω = 0 или ω = βk обратится в нуль.
26
2.2 Содержание домашнего задания
Определить устойчивость САУ тремя способами – с помощью:
1.Критерия Гурвица;
2.Критерия Рауса;
3.Критерия Михайлова.
Вариантызаданий:
№ варианта |
Характеристический полином системы управления |
|
|
1 |
А(p)=4*p5+8*p4+9*p3+2*p2+2*p+5 |
2 |
А(p)=p5+5*p4+3*p3+3*p2+2*p+6 |
3 |
А(p)=8*p5+5*p4+6*p3+2*p2+2*p+1 |
4 |
А(p)=p5+3*p4+5*p3+4*p2+2*p+1 |
5 |
А(p)=3*p5+8*p4+9*p3+p2+2*p+7 |
6 |
А(p)=2*p5+8*p4+5*p3+5*p2+p+9 |
7 |
А(p)=p5+3*p4+7*p3+5*p2+2*p+1 |
8 |
А(p)=6*p5+5*p4+5*p3+2*p2+2*p+7 |
9 |
А(p)=3*p5+p4+7*p3+2*p2+p+1 |
10 |
А(p)=p5+p4+4*p3+2*p2+3*p+1 |
11 |
А(p)=2*p5+2*p4+5*p3+4*p2+2*p+1 |
12 |
А(p)=p5+p4+4*p3+3*p2+2*p+1 |
|
|
13 |
А(p)=2p5+p4+7*p3+p2+2*p+6 |
14 |
А(p)=2*p5+2*p4+8*p3+6*p2+2*p+1 |
15 |
А(p)=4*p5+5*p4+8*p3+6*p2+p+2 |
16 |
А(p)=p5+p4+7*p3+6*p2+4*p+5 |
17 |
А(p)=6*p5+7*p4+7*p3+6*p2+2*p+1 |
18 |
А(p)=p5+2*p4+6*p3+7*p2+6*p+2 |
19 |
А(p)=p5+7*p4+5*p3+7*p2+p+1 |
20 |
А(p)=2*p5+5*p4+6*p3+7*p2+2*p+1 |
21 |
А(p)=p5+3*p4+6*p3+6*p2+p+2 |
22 |
А(p)=p5+3*p4+5*p3+6*p2+5*p+2 |
23 |
А(p)=3*p5+8*p4+5*p3+9*p2+p+2 |
24 |
А(p)=2*p5+3*p4+5*p3+4*p2+2*p+1 |
25 |
А(p)=2*p5+3*p4+4*p3+5*p2+2*p+2 |
26 |
А(p)=4*p5+6*p4+7*p3+7*p2+3*p+1 |
27 |
А(p)=3*p5+6*p4+7*p3+5*p2+2*p+1 |
27
№ варианта |
Характеристический полином системы управления |
|
|
28 |
А(p)=2*p5+3*p4+7*p3+6*p2+3*p+3 |
29 |
А(p)=2*p5+7*p4+4*p3+8*p2+p+2 |
30 |
А(p)=4*p5+6*p4+8*p3+4*p2+p+2 |
31 |
А(p)=3*p5+5*p4+5*p3+5*p2+2*p+1 |
32 |
А(p)=2*p5+2*p4+4*p3+3*p2+2*p+2 |
33 |
А(p)=p5+2*p4+2*p3+3*p2+p+1 |
34 |
А(p)=4*p5+6*p4+7*p3+5*p2+2*p+1 |
35 |
А(p)=p5+3*p4+3*p3+7*p2+2*p+2 |
36 |
А(p)=6*p5+7*p4+5*p3+5*p2+p+5 |
37 |
А(p)=5*p5+5*p4+7*p3+5*p2+2*p+1 |
38 |
А(p)=p5+2*p4+4*p3+8*p2+2*p+4 |
39 |
А(p)=5*p5+7*p4+7*p3+9*p2+p+1 |
40 |
А(p)=p5+4*p4+4*p3+6*p2+3*p+2 |
41 |
А(p)=2*p5+2*p4+6*p3+5*p2+3*p+1 |
42 |
А(p)=2*p5+3*p4+5*p3+5*p2+2*p+2 |
43 |
А(p)=p5+3*p4+7*p3+8*p2+9*p+2 |
44 |
А(p)=2*p5+p4+5*p3+2*p2+3*p+1 |
45 |
А(p)=4*p5+3*p4+6*p3+4*p2+p+2 |
46 |
А(p)=2*p5+5*p4+5*p3+5*p2+2*p+1 |
47 |
А(p)=p5+2*p4+5*p3+6*p2+3*p+2 |
48 |
А(p)=2*p5+2*p4+8*p3+7*p2+p+1 |
49 |
А(p)=p5+4*p4+8*p3+5*p2+4*p+2 |
50 |
А(p)=5*p5+8*p4+8*p3+8*p2+2*p+1 |
51 |
А(p)=2*p5+9*p4+3*p3+4*p2+p+2 |
52 |
А(p)=p5+5*p4+9*p3+7*p2+p+1 |
53 |
А(p)=3*p5+9*p4+4*p3+2*p2+p+2 |
54 |
А(p)=p5+2*p4+8*p3+8*p2+2*p+1 |
55 |
А(p)=2*p5+2*p4+5*p3+5*p2+p+1 |
56 |
А(p)=5*p5+3*p4+7*p3+p2+2*p+2 |
57 |
А(p)=p5+3*p4+4*p3+8*p2+2*p+1 |
58 |
А(p)=p5+4*p4+3*p3+5*p2+2*p+1 |
59 |
А(p)=p5+3*p4+8*p3+5*p2+3*p+1 |
60 |
А(p)=p5+p4+8*p3+2*p2+8*p+1 |
|
|
28
Пример выполнения задания
Определим устойчивость системы с характеристическим полиномом
A(p) = p5+2*p4+3*p3+4*p2+2*p+1
1. Критерий Гурвица
Проверим старший коэффициент а5 = 1 > 0. Составим определители Гурвица для системы 5 порядка:
1 a1, |
|
|
|
|
1 |
2, |
|
|
|
|
|||
2 |
a1 |
a3 , |
|
|
|
2 |
2 4 |
, |
|
|
|||
|
|
a0 |
a2 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
a1 |
a3 |
a5 |
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
|
|
3 |
a0 |
a2 |
a4 , |
|
|
3 1 |
3 2, |
|
|
||||
|
|
0 |
a1 |
a3 |
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|
|
|
|
a1 |
a3 |
a5 |
0 |
|
|
|
2 4 |
1 |
0 |
|
|
|
4 |
a0 |
a2 |
a4 |
0 , |
|
|
4 |
1 3 2 0, |
|
|||
|
0 a1 |
a3 |
a5 |
|
|
0 |
2 |
4 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 a0 |
a2 |
a4 |
|
|
|
0 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
a1 |
a3 |
a5 |
0 0 |
|
|
2 |
4 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
a0 |
a2 |
a4 |
0 |
0 |
|
|
1 |
3 |
2 |
0 |
0 |
5 |
0 |
a1 |
a3 |
a5 |
0 |
5 0 2 4 1 0 |
|||||||
|
|
0 |
a0 |
a2 |
a4 |
0 |
|
|
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
|
|
0 |
0 a1 |
a3 |
a5 |
|
|
0 |
0 |
2 |
4 |
1 |
|
Рассчитаем значения определителей:
∆1 = 2 > 0, ∆2 = 2*3 – 1*4 = 6 – 4 = 2 > 0,
∆3 = 2*3*4 + 0 + 1*1*2 – 0 – 1*4*4 – 2*2*2 = 24 + 2 – 16 – 8 = 2 > 0,
2 4 1
∆4 = 2*∆3 – 1* 1 3 2 = 2*2 – (18 +1 – 12 – 4) = 4 – 3 = 1 > 0,
0 1 3
∆5 = 1*∆4 = 1*1 = 1 > 0.
По критерию Гурвица сделаем вывод: система управления устойчива.
Замечание 1. Если окажется, что какой-либо из определителей меньше нуля, вычисление последующих можно не проводить – система неустойчива.
Замечание 2. Если главный определитель ∆5 = 0, а все остальные определители неотрицательны, система находится на границе устойчивости.
29
2. Критерий Рауса
Составим таблицу для системы 5 порядка:
|
|
|
C00 = a0 |
C01 = a2 |
C02 = a4 |
|
|
|
|
C10 = a1 |
C11 = a3 |
C12 = a5 |
|
2 |
|
C00 |
C20 |
C01 C11 * 2 |
C21 C02 C12 * 2 |
— |
|
|
C10 |
|
|
|
|
3 |
|
C10 |
C30 |
C11 C21 * 3 |
C31 C12 |
— |
|
|
C20 |
|
|
|
|
4 |
|
C20 |
C40 |
C21 C31 * 4 |
— |
— |
|
|
C30 |
|
|
|
|
5 |
|
C30 |
C50 C31 |
— |
— |
|
|
|
C40 |
|
|
|
|
Рассчитаем содержимое ячеек таблицы:
|
|
C00 = 1 |
|
|
|
C01 = 3 |
|
C02 = 2 |
||
|
|
C10 = 2 |
|
|
|
C11 = 4 |
|
C12 = 1 |
||
λ2 |
= 0,5 |
C20 |
= 3 – |
4*0,5 |
= 1 |
C21 |
= 2 |
– 1*0,5 = 1,5 |
— |
|
λ3 |
= 2/1 = 2 |
C30 |
= 4 |
– |
1,5*2 = 1 |
C31 |
= 1 |
|
— |
|
λ4 |
= 1/1 = 1 |
C40 |
= 1,5 |
– 1*1 |
= 0,5 |
— |
|
|
— |
|
λ5 |
= 1/0,5 = 2 |
C50 |
= 1 |
|
|
|
— |
|
|
— |
По критерию Рауса сделаем вывод: система управления устойчива.
Замечание 3. Если окажется, что значение в какой-либо из ячеек затемненного столбца меньше нуля, вычисление последующих можно не проводить – система неустойчива.
Замечание 4. Если С40 = 0 или С50 = 0, а остальные значения ячеек затемненного столбца неотрицательны, система находится на границе устойчивости.
3. Критерий Михайлова
Выполним подстановку p = jw, где j – мнимая единица, j2 = –1, а w – частота, w [0; ∞), выделим действительную и мнимую части
A( jw) ( jw)5 2( jw)4 3( jw)3 4( jw)4 2( jw) 1 jw5 2w4 3 jw3 4w2 2 jw 1 u(w) Re A( jw) 2w4 4w2 1
v(w) Im A( jw) w5 3w3 2w
и найдем их корни:
30