§6. Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов ,иназывается число . Геометрический смысл смешанного произведения состоит в том, что: ,где -объём параллелепипеда, построенного на векторах,и.

Смешанное произведение обладает свойствами:

1) ; 2);

3) ; 4)и -компланарны ;

Для векторов ,и, заданных координатами,,смешанное произведение вычисляется по формуле:.

Некоторые приложения смешанного произведения:

1) Вычисление объёмов тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах ,и, как на рёбрах:.

2) Определение ориентации упорядоченной тройки векторов в пространстве: если , то тройка правая; если, то - левая.

3) Установление компланарности векторов ,и:

и - компланарны.

4) Установление принадлежности четырёх точек одной плоскости:

2.88 Векторы образуют правую тройку, взаимно перпен-дикулярны иВычислить.

2.89 Векторы образуют левую тройку. Найти, если

2.90 Определить ориентацию тройки векторов если:

а); б).

2.91 Доказать тождества:

а)

б)

2.92 Вычислить произведения, если :

а) б) .

2.93 Проверить, компланарны ли векторы

a) ;

б)

2.94 При каком векторыбудут компланарны?

а)

б)

2.95 Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов, если

a) ;

б)

2.96 Проверить лежат ли точки в одной плоскости

а) , B(1,2,1), C(2,3,0), ;

б) A(7,0,3), , , .

2.97 Вычислить объём тетраэдра , если , , .

2.98 Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках ,B(3,0,1), . Найти координаты четвертой вершиныD, если известно, что она лежит на оси ординат.

2.99 В тетраэдре вершины которого расположены в точках,,,, найти длину высоты.

2.100 Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах За основание взят параллелограмм, построенный на векторахи

2.101 В треугольной призмевекторыиопределяют основание, а векторнаправлен по боковому ребру. Найти объем призмы и ее высоту.

2.102 Даны три некомпланарных вектора отложенных от одной точкиО. Найти длину вектора гдеН - ортогональная проекция точки О на плоскость АВС.

50