Определитель этой матрицы (якобиан) определяется выражением
(2.16)
Выражение, стоящее
в квадратных скобках, имеет простой
геометрический смысл: оно представляет
собой проекцию ломаной ВСD
на направление, перпендикулярное звену
АВ. Можно показать также, что в двух
положениях механизма, соответствующих
одним и тем же значениям q1,
q2,
q3
(см. рис. 2.6), значения якобиана (2.16)
одинаковы по значению и противоположны
по знаку.
В
На
рис. 2.7 дана условная геометрическая
интерпретация метода Ньютона, относящаяся
к случаю, когда векторыи- одномерные. Для того, чтобы избежать
многократного вычисления матрицы,
обратной матрице Якоби, можно пользоваться
модифицированным методом Ньютона, при
котором используется процедура,
соответствующая формуле
k=1,2,…
. (2.17)
где
Положение механизма,
близкое к исходному, не может быть
получено описанным выше способом, если
определитель матрицы Якоби обращается
в ноль. В рассматриваемом примере якобиан
(2.16) обращается в ноль в тех положениях,
при которых точки А, В и D
располагаются на одной прямой (рис.
2.8). Это – особое (сингулярное) положение
группы АВСD.
Основываясь на данном примере, можно
дать следующее определение: особое
положение группы – такое, в котором
якобиан обращается в ноль.
В особом положении
два решения уравнения (2.11) сливаются в
одно. Естественно, что в окрестностях
особого положения оба решения этого
уравнения оказываются близкими, и выбор
одного из них становится затруднительным.
Чем ближе к нулю значение якобиана, тем
хуже сходятся последовательные
приближения. Однако это еще не все
неприятные факторы, связанные с особыми
положениями. О них разговор пойдет при
рассмотрении других разделов.
-
Повторить
по лекции 3: |
|
Термины: |
|
Функция
положения;
Прямая задача
геометрического анализа;
Обратная задача
геометрического анализа;
Входные и
выходные координаты группы; |
Формулы: |
|
|
9