- •1.1.Основные методы вычисления неопределённого интеграла.
- •7.12 А); б); в).
- •7.51 А); б).
- •7.82 А); б); в).
- •7.91. 7.92. 7.93.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •7.198 А); б); в).
- •7.205 . 7.206. 7.207.
- •7.220 . 7.2217.222.
- •7.246 А) ;
- •7.247 А) ;
- •7.248 А) ;
- •7.249 А) ;
- •4.2 Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики, физики и экономики.
1.1.Основные методы вычисления неопределённого интеграла.
В задачах 7.1-7.11 найти интегралы непосредственным интегрированием, используя свойства и таблицу интегралов:
7.1 а); б); в).
7.2 а); б); в).
7.3 а); б); в).
7.4 а); б); в).
7.5 а); б); в).
7.6 а); б); в).
7.7 а); б); в).
7.8 а); б); в).
7.9 а); б); в).
7.10 а); б);в).
7.11 а); б); в).
Часто, заменой переменной интегрирования , удаётся свести нахождение интегралак нахождению более простого интегралас последующей заменой.
Существуют два варианта замены переменной интегрирования:
1) Метод подведения функции под знак дифференциала.
Если подынтегральное выражение может быть записано в виде
, где - дифференцируемая функция, то осуществляется замена. Тогда
.
При подведении функций под знак дифференциала широко используются свойства дифференциалов и таблица дифференциалов основных элементарных функций (приложение 3), в частности, преобразования:
; ;
, .
2) Метод подстановки.
Если функция дифференцируема и имеет обратнуюна соответствующем промежутке, то справедливо равенство
.
Функция подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор её определяется конкретным видом подынтегрального выражения.
В задачах 7.12-7.21 сделав замену переменной интегрирования методом подведения под знак дифференциала, найти следующие интегралы
7.12 А); б); в).
7.13 а); б); в).
7.14 а) ; б); в).
7.15 а); б); в).
7.16 а); б); в).
7.17 а); б); в).
7.18а); б); в).
7.19 а); б); в).
7.20 а); б); в).
7.21 а); б); в).
В задачах 7.22-7.30 сделав замену переменной интегрирования методом подстановки, найти следующие интегралы:
7.22 . 7.23. 7.24.
7.25 . 7.26. 7.27.
7.28 . 7.29. 7.30.
В задачах 7.31-7.45 применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:
7.31 а) ; б); в).
7.32 а); б); в).
7.33 а); б).
7.34 а); б); в).
7.35 а); б).
7.36 . 7.37. 7.38.
7.39 . 7.40. 7.41.
7.42 . 7.43 . 7.44.
7.45 . 7.46. 7.47.
7.48 . 7.49. 7.50.
Если и- дифференцируемые функции, то справедливаформула интегрирования по частям:
или кратко .
Эта формула используется в тех случаях для вычисления , когда подынтегральное выражениеможно так представить в виде, что интегралможет оказаться проще интеграла.
Этим методом вычисляются: 1) интегралы вида ,
, ,, причём в качествевыбирается;2) интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: ,,,,,, причём в качествевыбирается одна из указанных выше функций;3) интегралы вида ,,,, посредством двукратного интегрирования по частям.
Указанные три группы интегралов не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.
В задачах 7.51-7.63 применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы: