7.51 А); б).

7.52 а); б).

7.53 а) ; б).

7.54 а) ; б) .

7.55 а) ; б).

7.56 а) б).

7.57 а) . б).

7.58 . 7.59. 7.60.

7.61 . 7.62. 7.63.

В задачах 7.64-7.69 применяя различные методы интегрирования, найти следующие интегралы:

7.64 . 7.65. 7.66.

7.67 . 7.68. 7.69.

1.2 Интегрирование основных классов элементарных

функций.

Вычисление интегралов вида и, выделяя в квадратном трёхчленеполный квадрати делая замену переменной интегрирования, сводят к вычислению табличных интегралов (см.приложение 4) и интегралов вида и, которые сводят к табличным заменой переменной.

Вычисление интегралов вида , делая замену переменной интегрирования, сводят к вычислению интегралов, рассмотренных выше.

В задачах 7.70-7.80 найти следующие интегралы от функций, содержащих квадратный трёхчлен:

7.70. 7.71. 7.72.

7.73. 7.74. 7.75.

7.76. 7.77. 7.78.

7.79 . 7.80.

Рациональной дробью называется рациональная функция вида. Если, то дробь неправильная, в противном случае – правильная. Всякую неправильную дробь всегда можно представить в виде , где,-многочлены от, причём. Выделение целой части (многочлена) в неправильной дроби производят делением числителя на знаменатель, выполняемое «уголком». Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Интегрирование правильной рациональной дроби основано на её представлении в виде конечной суммы простейших дробей вида ,,,, причём трёхчленне имеет действительных корней. Вид этого разложения определяется разложением знаменателядроби на линейные и квадратичные множители (не имеющие действительных корней).

Каждому линейному множителю вида , где, в разложении соответствует сумма изпростейших дробей вида. Каждому квадратичному множителю вида, где, в разложении соответствует сумма изпростейших дробей вида.

Неизвестные постоянные ,,в разложении правильной рациональной дробив сумму простейших дробей определяютметодом неопределённых коэффициентов. Для этого правую часть искомого разложения приводят к общему знаменателю (им будет многочлен ), после чего у получившегося в числителе многочлена с неизвестными постоянными и у многочленаприравнивают коэффициенты при одинаковых степенях. В результате получают систему линейных уравнений, решая которую находят неизвестные постоянные. Можно также определять,,, подставляя в равенство, полученное приравниванием числителяк числителю дроби с неизвестными постоянными, полученной после приведения простейших дробей к общему знаменателю, вместонекоторые специально подобранные числа (обычно действительные корни знаменателя) (метод частных значений). Часто, при нахождении неизвестных постоянных, комбинируют оба способа.

Интегрирование простейшей дроби , выделением полного квадратаи заменой, сводят к вычислению интеграла вида. Для вычисления такого интеграла используют подстановку.

В задачах 7.81-7.90 найти следующие интегралы от рациональных функций:

7.81 а) ; б); в).