8.140. 8.141. 8.142.
8.143. 8.144. 8.145. 8.146. 8.147. 8.148. 8.149. 8.150. 8.151. 8.152. 8.153. 8.154.
8.155. 8.156.8.157. 8.158. 8.159. 8.160.
Внутри общего интервала сходимости степенные ряды можно почленно складывать и вычитать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:
.
Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:
1) ;
2) .
Степенной ряд называетсярядом Тейлора функции в точке. Приряд Тейлора называетсярядом Маклорена: .
Представление функции в виде, называется разложениемв ряд Тейлора. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда остаток рядапридля всехиз некоторой окрестности точки, входящей в интервал сходимости ряда. Для оценки остатка ряда Тейлора часто пользуются формулой, где.
При разложении функций в степенные ряды, как правило, используют основные разложения элементарных функций в ряд Маклорена (Приложение 5). Иногда при разложении используют почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных дробей рекомендуется представлять их в виде суммы простейших дробей.
В задачах 8.161-8.178 используя основные разложения элементарных функций (Приложение 5), а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд Маклорена и указать интервалы сходимости полученных рядов.
8.161 . 8.162. 8.163.
8.164 . 8.165. 8.166.
8.167 . 8.168. 8.169.
8.170 . 8.171. 8.172.
8.173 . 8.174. 8.175.
8.176 . 8.177. 8.178.
В задачах 8.179-8.186 вычислить указанные выражения с точностью .
8.179 . 8.180. 8.181. 8.182 .
8.183 . 8.184. 8.185. 8.186 .
8.187 Пользуясь тождеством вычислить числос точностью.
В задачах 8.188-8.193 вычислить следующие интегралы с точностью .
8.188 . 8.189. 8.190.
8.191 . 8.192. 8.193.
§4. Ряды Фурье. Интегралы Фурье.
Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезкеназывается функциональный ряд вида, где числаи, называемыекоэффициентами Фурье функции , вычисляются по формулам:
, ,.
Функция называетсякусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точекна интервалытак, что на каждом из интервалов функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.
Если функция на отрезкекусочно-монотонна и непрерывна, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, то во всякой точке, в которойнепрерывна, функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье. В точках разрывафункциии точкахсумма ряда Фурье определяется формуламии.
В частности, если: 1) функция -чётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение,где,;
2) функция -нечётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение, где,.
Если функция задана только в интервале, то её можно продолжить в интерваллибо как чётную, либо как нечётную, а затем разложить её в интервалев неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам.
В задачах 8.194-8.202 разложить следующие функции в ряд Фурье в интервале :