- •6.1 . 6.2.
- •§2. Частные производные
- •6.22 . 6.23.
- •6.24 . 6.25. 6.26. 6.27. 6.28. 6.29. 6.30. 6.31. 6.32.
- •6.33 . 6.34.
- •§3 Дифференциал.
- •6.41 . 6.42. 6.43.
- •6.44 . 6.45. 6.46.
- •§4. Дифференцирование сложных и неявных функций.
- •§5. Некоторые приложения частных производных.
- •§6 Формула Тейлора.
- •§7 Экстремумы функций нескольких переменных
- •6.82 . 6.83. 6.84. 6.85.
- •6.109 А) ;
- •6.110 А) ;
- •6.111 А) ;
- •Глава 7. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределённый интеграл.
- •1. . 2..
§7 Экстремумы функций нескольких переменных
Точка , принадлежащая области определенияфункции , называется стационарной точкой функции, если в этой точке каждая из её частных производных равна нулю, т.е. ,…,или.
Точка называетсяточкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точекэтой окрестности выполняется неравенство().
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то- стационарная точка функции.
Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка дважды дифференцируемой в точке функции . Тогда, если при всевозможных наборах значений , не равных одновременно нулю:
1) , то в точкефункцияимеет максимум;2) , то в точкефункция имеет минимум;3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точкефункцияне имеет экстремума.
Исследование знака сводится к исследованию знакоопределённости второго дифференциала, как квадратичной формы относительно переменных (например, с помощью критерия Сильвестра).
В частности, функция в стационарной точке, при условии, где,,:1) имеет максимум, если и;2) имеет минимум, если и;3) не имеет экстремума, если .
В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:
6.82 . 6.83. 6.84. 6.85.
6.86 . 6.87.
6.88().6.89
6.90 . 6.91.
6.92 . 6.93.
6.94. 6.95.
6.96 .
6.97 .
6.98 .
6.99 . 6.100.
Точка называетсяточкой условного минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точекэтой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи() выполняется неравенство(). Точки условного минимума и максимума функции называютсяточками условного экстремума, а значения функции в этих точках – условными экстремумами функции.
Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа ,
где () –постоянныемножители Лагранжа.
Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функциипри наличии уравнений связи() , то в точке выполняются условия
.
Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа в точкепри значениях, рассматриваемого как квадратичная форма относительно переменныхпри условии, что они связаны соотношениями:().
В частности, для функции исследуется знакпри условии.
Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений, удовлетворяющих соотношениям() и не равных одновременно нулю:
1) , то в точкефункцияимеет условный максимум;2) , то в точкефункция имеет условный минимум;3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точкефункцияне имеет условного экстремума.
В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:
6.101 при .
6.102 при .
6.103 при .
6.104 при .
6.105 при .
6.106 при .
6.107 при .
6.108 при .
Если функция дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.
В задачах 6.109-6.111 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях: