Лекция_Устойчивость
.docУСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ. КРИТИЧЕСКАЯ СИЛА
В этих примерах с увеличением нагрузки вплоть до разрушения стержень останется прямым, кольцо – круглым, балка – изгибаться по одному и тому же уравнению. Форма равновесия не зависит от величины внешней силы. Это – устойчивые деформации.
В этих примерах форма равновесия зависит от величины силы. Это – неустойчивая форма деформации.
Под устойчивостью понимают свойство упругой системы сохранять под нагрузкой первоначальную форму упругого равновесия.
Потеря устойчивости наблюдается в элементах конструкций, работающих на сжатие. Например, устойчивость может потерять стенка двутавровой балки при изгибе, труба, нагруженная внешним давлением, корпус подводной лодки, корабельный гребной вал, ходовой винт металлорежущего станка и т.д.
Остановимся на изучении наиболее простой формы потери устойчивости – стержень, сжатый вдоль продольной оси.
1. Устойчивая форма упругого равновесия. Стержень, получив малое отклонение, вновь возвращается в исходное положение.
– механический аналог
2. Безразличная форма упругого равновесия. Стержень, получив малое отклонение, сохраняет состояние покоя. Сила, соответствующая безразличному состоянию, называется критической силой, а напряжения – критическими напряжениями.
– механический аналог
3. Неустойчивая форма равновесия. Стержень, получив малое отклонение, не возвращается обратно, а продолжает изгибаться. Прогибы бытро нарастают, наступает разрушение.
– механический аналог
Пример – пшеница . Колос наливается пшеница полегает.
Сила Ркр является опасной нагрузкой. Поэтому нужно иметь некоторый запас по устойчивости. Введём понятие допускаемой силы и напряжения.:
; , где - коэффициент запаса устойчивости.
Обычно принимают:
для
сталей:
– машиностроение
для чугунов
Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости, называют продольным изгибом.
Формула Л. Эйлера для критической силы (1744 г.)
Рассмотрим стержень длиной l , на шарнирных опорах сжатый продольной силой Ркр .
Доказано, что упругая линия такого стержня представляет собой синусоиду.
Величина силы Ркр вычисляется по формуле Л. Эйлера (даётся без вывода)
(1)
где – наименьший из двух моментов инерции поперечного сечения стержня.
l – длина полуволны синусоиды упругой линии (в нашем случае – длина стержня).
Формулу (1) можно распространить на другие способы крепления концов стержня, при которых длина полуволны будет другой. Тогда формула Л. Эйлера примет вид:
(2)
где – приведенная длина стержня ;
– коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа крепления его концов (введён Ясинским).
Из формулы (2) видно, что критическая сила не зависит от характеристик прочности материала и . Поэтому при большой гибкости стержня, когда “работает” формула Л. Эйлера, не имеет смысла применять дорогие легированные стали, а наоборот, следует использовать самые дешёвые материалы с низкими прочностными свойствами, т.к. зависит только от модуля Юнга Е, который для всех сталей примерно одинаков (Е = 2·105 МПа).
Пределы применимости формулы Эйлера.
Критические напряжения по Эйлеру. Гибкость стержня.
– напряжение от действия .
Величину называют минимальным радиусом инерции сечения.
Обозначим – гибкость стержня.
Тогда , т.е. (3)
Из формулы (3) видно, что с уменьшением гибкости величина растёт.
Если достигнет величины материала стержня, то формула Эйлера становится неприменимой. Из этого условия определим значение :
Значит, формула Эйлера справедлива, если или . Например, для малоуглеродистой стали: ; , значит .
Для дерева , для чугуна .
Устойчивость стержня за пределом пропорциональности
Формула Эйлера справедлива, если в момент потери устойчивости . Однако явление продольного изгиба продолжает существовать и за пределом упругости. Опытным путём установлено, что действительные критические напряжения для стержней средней и малой гибкости (когда ), лежат ниже значений, определённых по формуле Эйлера..
В результате обработки большого экспериментального материала, полученного Тетмайером, русский учёный Ф.С.Ясинский предложил простую эмпирическую зависимость
(4)
где a и b – опытные коэффициенты, зависящие от материала. Их берут из специальных таблиц. Например, для малоуглеродистой стали:
а = 310 МПа
b = 1.14 МПа
Используя формулу (4), можно для каждого материала построить график , который представляет собой прямую линию.
При некотором значении гибкости величина , вычисленная по (4) становится равной предельному напряжению при сжатии:
Для пластичных материалов
Для хрупких материалов
Стержни, у которых , называются стержнями малой гибкости. Их рассчитывают на обычное сжатие.
Полный график критических напряжений
Таким образом, все стержни можно разделить на:
-
Стержни малой гибкости (). Для них . Эти стержни разрушаются от потери прочности.
-
Стержни средней гибкости (). Для них
-
Стержни большой гибкости (). Для них
Стержни средней и большой гибкости разрушаются от потери устойчивости.
Таким образом, .
Это – полный график критических напряжений. Из него видно:
-
Применять формулу Эйлера для стержней средней и малой гибкости нельзя, т.к. . В каждом диапазоне гибкостей выражение для будет своё. Иначе стержень разрушится от потери устойчивости. Пример – крушение моста в Квебеке через реку Св. Лаврентия и в Женеве.
-
Применять дорогостоящие стали для стержней большой гибкости нерационально, т.к. для всех сталей МПа, значит будет одинаковой для всех сталей, а для стержней малой гибкости применять такие стали выгодно, т.к. у них весьма высок.
Расчёт на устойчивость с помощью коэффициента .
Обычно условию устойчивости придают вид, подобный условию прочности при сжатии:
- при расчёте на сжатие
- при расчёте на устойчивость
В этих формулах:
;
Составим отношение: (5)
Таким образом, (6)
Выясним, от чего зависит .
- зависит от гибкости,
- зависит от материала,
Значит, зависит от гибкости стержня и от материала., из которого он изготовлен. На основании большого количества экспериментов созданы таблицы для . Величина лежит в пределах
Условие устойчивости принимает вид:
(7)
С помощью (7) можно решать 3 типа задач на устойчивость:
-
Проверка на устойчивость – прямо по формуле (7). Должны быть заданы: нагрузка Р, форма и размеры сечения, длина стержня, способы крепления его концов (для определения ), материал стержня.
-
Определение допускаемой нагрузки. Из условия устойчивости (7) находим:
3. Проектный расчёт – определение размеров поперечного сечения F.
Здесь величина пока неизвестна и поэтому находят F методом последовательных приближений.
1-я проба. Задаются .
Находят F1 → размеры сечения → гибкость → . Сравнивают и .
Если они отличаются не более 5 %, расчёт прекращают и найденные размеры сечения принимают за окончательные, если более 5 %, делают 2-ю пробу.
2-я проба. Задаются значением .
Находят F2 → разм. сеч. → гибкость → . Сравнивают и и т.д., пока не получат . Найденные в последнем приближении размеры сечения принимают за окончательные. После расчёта на устойчивость при наличии местных ослаблений (например за счёт отверстия в сечении) проводят расчёт на обычное сжатие по :
Выбор рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней.
– для стержней средней гибкости
– для стержней большой гибкости
Из этих формул видно, что чем меньше ,тем большую нагрузку может выдержать стержень. Значит, выгодно уменьшать гибкость .
. Отсюда видно, что для уменьшения нужно увеличить .
Поскольку , то нужно увеличить . (пример с листом бумаги)
С экономической точки зрения наиболее рациональной будет такая форма сечения, при которой величина при данной площади F будет наибольшей.
С этой целью нужно применять сечения в виде правильных многоугольников, у которых материал “разнесён” как можно дальше от центра тяжести сечения, т.е. трубчатые и коробчатые тонкостенные сечения.