Лекция семнадцатая Расчёт статически неопределимых систем методом сил на температурное и кинематическое воздействие

17.1. Расчёт стержневых статически неопределимых систем на температурное воздействие

17.2. Пример расчёта статически неопределимой рамы на температурное воздействие в обычной форме

17.3. Пример расчёта статически неопределимой рамы на температурное воздействие в матричной форме

17.4. Расчёт стержневых статически неопределимых систем на кинематическое воздействие

17.5. Пример расчёта статически неопределимой рамы на смещение опорных связей в обычной форме

17.6. Пример расчёта статически неопределимой рамы на смещение опорных связей в матричной форме

17.7. Вопросы для самопроверки

17.8. Рекомендуемая литература

17.1. Расчёт стержневых статически неопределимых систем на температурное воздействие

На плоскую стержневую систему, степень статической неопределимости которой равна n(рис. 17.1,а) независимо друг от друга действуетfвариантов температурных полей. Каждое температурное поле характеризуется изменением температуры на различных поверхностях элементов стержневой системы. Наk-ом участке любого элемента сооружения величины приращений температуры, коэффициента линейного температурного расширения материала_k, высоты поперечного сеченияh_k, а также его жесткостных характеристик на изгибEJ_k, сдвигGA_kи растяжение–сжатие ЕА_kбудем считать постоянными. Закон изменения приращений температуры по высоте поперечного сечения примем линейным (см. п. 12.2 второй части настоящего курса лекций).

Образуем статически определимую основную систему метода сил (ОСМС), удалив из заданного сооружения nлишних связей (рис. 17.1,б). Неизвестные метода силX₁,X₂, …,X_j, …,X_nопределим из условия эквивалентности напряжённо-деформи­руе­мых состояний заданного сооружения (рис. 17.1,а) и его основной системы (рис. 17.1,б), т.е. из условий равенства нулю перемещений по направлениюX_i (i = 1, 2, …,n) в основной системе метода сил от неизвестных этого метода и заданного изменения температуры.

Используя принцип независимости действия сил и повторяя выкладки, приведенные в п. 16.2 шестнадцатой лекции, получим систему канонических уравнений для определения неизвестных X₁,X₂, …,X_j, …,X_nв случае температурного воздействия на сооружение.

(17.1)

Величина главных _iiи побочных_ijкоэффициентов системы канонических уравнений (17.1) не зависят от вида воздействия на сооружения и определяются по ранее полученным в п. 16.2 формулам (16.5)–16.6) в общем случае плоских стержневых систем и по формулам (16.8)–(16.9) для рам и балок.

Свободные члены системы канонических уравнений (17.1) _itпредставляют собой перемещения по направлению неизвестных метода силX_i (i = 1, 2, …,n) в основной системе от заданного температурного воздействия. Так как для расчёта принята статически определимая основная система, указанные перемещения в ней определяются по формуле (12.4), полученной в п. 12.2 второй части настоящего курса лекций:

. (17.2)

В соотношении (17.2) M_ik(s),N_ik(s) – соответственно, изгибающие моменты и продольные силы на участке, где происходит изменение температуры на величину, отX_i = 1 в основной системе метода сил. Напоминаем читателям, что параметрами, характеризующими температурное воздействие наk-ом участке, являются:– перепад приращений температуры по высоте поперечного сечения;– приращение температуры на уровне центра тяжести поперечного сечения.

При наличии эпюр внутренних усилий M_ik(s) иN_ik(s), а также условных эпюри, построенных вдоль продольных осей элементов сооружения, интегралы, входящие в формулу (17.2), можно вычислить, используя правило Верещагина (см. п. 11.4 второй части настоящего курса лекций).

Жёсткости поперечных сечений элементов сооружения EJ_k,GA_k,EA_kучитываются при вычислении коэффициентов_iiи_ijсистемы канонических уравнений (17.1) и их значения не входят в соотношение (17.2), с помощью которого вычисляются свободные члены указанной системы уравнений. Отсюда следует, что величины усилий в лишних связяхX_iи, следовательно, внутренних усилий в заданном сооружении являются функциями абсолютных значений жесткостных характеристик поперечных сечений стержней.

Получив значения усилий в лишних связях из системы уравнений (17.1), мы свели расчёт статически неопределимого сооружения (рис. 17.1,а) на температурное воздействие к расчёту статически определимой основной системы метода сил (рис. 17.1,б), на которую действуют указанные усилия X₁,X₂, …,X_i, …,X_j, …,X_nи заданное изменение температуры. Так как изменение температуры в статически определимых сооружениях внутренних усилий не вызывает (см. п. 12.1 второй части настоящего курса лекций), то значения изгибающих моментовM_t, поперечных и продольных силQ_tиN_tв сечениях заданного сооружения в этой ситуации определяются только усилияX₁,X₂, …,X_i, …,X_j, …,X_n. Имея эпюры внутренних усилийM_j,Q_j,N_jотX_j= 1 в основной системе и используя принцип независимости действия сил, получим:

M_t=M₁X₁+M₂X₂+ … +M_jX_j+ … +M_nX_n,

Q_t=Q₁X₁+Q₂X₂ + … +Q_jX_j+ … +Q_nX_n, (17.3)

N_t = N₁X₁ + N₂X₂ + … + N_jX_j + … + N_nX_n.

Окончательные эпюры внутренних усилий M_t,Q_t,N_tпостроены правильно, если, выполнены кинематические условия: перемещение по направлению любого усилияX_i (i = 1, 2, …,n) в отброшенных связях в основной системе от действия всех неизвестных метода силX₁,X₂, …,X_j, …,X_nи заданного температурного воздействия должны быть равны нулю, так как в заданном сооружении имеются связи, препятствующие перемещениям по направлениюX_i.

Сопрягая проверяемые эпюры внутренних усилий M_t,Q_t,N_tс эпюрами внутренних усилийM_i,Q_i,N_i, построенными в основной системе отX_i= 1, в соответствии с соотношениями (17.3) вычислим перемещение по направлениюX_iв статически определимой основной системе только от неизвестных метода силX₁,X₂, …,X_j, …,X_n. Добавляя к этому перемещению ещё и перемещение от заданного изменения температуры_it, получим полное перемещение по направлениюX_iв основной системе, которое, если выполняется кинематическая проверка, т.е. если поставленная задача решена правильно, должно быть равно нулю. Это возможно, если перемещение по направлениюX_iв основной системе, вызванное неизвестными методами сил, будет компенсировано перемещением в том же направлении от заданного температурного воздействия, т.е. будет равно (–_it). Таким образом,

. (17.4)

В матричной форме система канонических уравнений (17.1) запишется:

Х + _t= 0. (17.5)

 – матрица внешней податливости основной системы метода сил по направлению усилий в отброшенных связях X_i, или матрица коэффициентов при неизвестных метода сил системы канонических уравнений. Структура этой матрицы не зависит от типа воздействия на заданное сооружение. Её элементы вычисляются по формуле (16.21), полученной в п. 16.7 шестнадцатой лекции.

Х – матрица неизвестных метода сил.

.

_t– матрица перемещений по направлению неизвестных метода сил в основной системе от заданного температурного воздействия, или матрица свободных членов системы канонических уравнений (17.1).

.

Число строк в матрицах Xи_tравно степени статической неопределимости сооруженияn, а число столбцов – числу вариантов задаваемых температурных воздействийf.

Элементы матрицы _tдля статически определимой основной системы вычисляются по формуле (17.2). В матричной форме соотношение (17.2) примет вид:

_t= . (17.6)

L_t– матрица внутренних усилий (изгибающих моментов и продольных сил), необходимых для расчёта сооружения на температурное воздействие в основной системе метода сил от Х₁= 1, Х₂= 1, …, Х_j= 1, …, Х_n= 1.

L_t = [L_t1  L_t2  … L_tj  …L_tn];.

Для k-тых участков, где задано изменение температуры=const, элементы блоковификсируются в срединных сечениях этих участков.

B_t– матрица температурной податливости сооружения.

.

B_t,nr– матрица температурной податливости сооружения при неравномерных приращениях температуры;B_t,о– то же при равномерных приращениях температуры. Если дляk-го участка_k = const,h_k = const, то

.

Т – матрица приращений температур по вариантам воздействий.

Т = [Т₁  Т₂  … Т_j  … Т_f]; .

T_nr,jиT_o,j– соответственно, матрицы неравномерных и равномерных приращений температурj-го варианта температурного воздействия. Элементами этих матриц наk-ом участке изменения температуры являются перепады приращений температур по высоте поперечного сеченияи приращения температуры в центре тяжести поперечного сечения.

Из системы канонических уравнений (17.5) получим матрицу неизвестных метода сил:

X = –^-1 _t. (17.7)

С учётом соотношений (16.21) и (17.6) матричное выражение (17.7) перепишется в развёрнутой форме:

. (17.8)

Внутренние усилия M_t,Q_t,N_tв заданном статически неопределимом сооружении от температурного воздействия в матричной форме определим, используя формулы (17.3).

. (17.9)

Напоминаем читателям, что L– матрица внутренних усилий, необходимых для получения матрицы коэффициентов при неизвестных метода силсистемы канонических уравнений, в основной системе отX₁ = 1,X₂ = 1, …,X_j = 1, …,X_n = 1. Порядок формирования этой матрицы подробно изложен в п. 16.7 шестнадцатой лекции.

С учётом выражения (17.8) матричное соотношение (17.9) в окончательной форме примет вид:

. (17.10)

В выражении (17.10) матрица В – это матрица внутренней упругой податливости сооружения. Структура этой матрицы подробно изложена в п. 16.7 шестнадцатой лекции.

Кинематическая проверка правильности расчёта заданного статически неопределимого сооружения на температурное воздействие в матричной форме производится по формуле:

L^T B S_t = –_t. (17.1)