17.5. Пример расчёта статически неопределимой рамы на смещение опорных связей в обычной форме

В раме, показанной на рис. 17.9,а, горизонтальная связь левой опоры получила перемещение влево на ₍₁₎= 2 см, вертикальная связь этой же опоры – вниз на₍₂₎= 1 см. Изгибная жёсткость поперечных сечений стержней рамы известна и равна постоянной величинеEJ. Требуется построить эпюры внутренних усилий от заданного смещения опорных связей.

В п. 17.2 эта же рама была рассчитана на температурное воздействие. Некоторыми результатами этого расчета воспользуемся в рассматриваемом примере.

1. Определение степени статической неопределимости и выбор статически определимой основной системы метода сил (см. п. 17.2, рис. 17.9,б).

2. Построение эпюры изгибающих моментов М₁и вычисление реакций в смещаемых связяхв основной системе от Х₁= 1 (рис. 17.9,в).

3. Вычисление коэффициентов разрешающего уравнения метода сил

₁₁Х₁+_1с= 0.

(см. п. 17.2).

Перемещение по направлению Х₁от заданного смещения опорных связей определим по формуле (17.13).

(рад).

4. Решение уравнения метода сил:

.

5. Определение изгибающих моментов в характерных сечениях рамы от заданных смещений горизонтальной и вертикальной связей левой опоры и построение эпюры М_с(рис. 17.9,г). Из первого выражения группы соотношений (17.14) следует:

M_c=M₁X₁, гдеX₁= 7610^-5EJ.

6. Кинематическая проверка эпюры М_спо формуле (17.15). В этой формуле сохраним только первый член, учитывающий изгибные деформации элементов рамы.

Результат сопряжения эпюр М_си М₁совпадает с численным значением правой части разрешающего уравнения метода сил₁₁Х₁= –_1с= –(-0,66710^-2) = 66710^-5с относительной погрешностью вычислений:

 = = 2,55 %,

что подтверждает правильность вычисления ординат эпюры М_с.

7. Построение эпюры поперечных сил Q_cпо эпюре изгибающих моментов М_си эпюры продольных силN_cпо эпюреQ_c. Читателям предлагается самостоятельно выполнить построение эпюрQ_c и N_c.

17.6. Пример расчёта статически неопределимой рамы на смещение опорных связей в матричной форме

В раме, показанной на рис. 17.10, возможны следующие независимые друг от друга кинематические воздействия: первое – перемещение вертикальной связи левой опоры вниз на ₍₁₎= 2 см, второе – перемещение горизонтальной связи вправо на₍₂₎= 1,5 см и вертикальной вверх на₍₃₎= 1 см опоры центральной стойки, третье – перемещение правой опоры вверх на₍₄₎= 3 см. Численные значения изгибных жесткостей поперечных сечений ригеляEJ_pи стоекEJ_срамы заданы:EJ_p= 2EJ,EJ_с= 0,5EJ(EJ– известное число). Требуется вычислить элементы матрицы изгибающих моментов М_сдля характерных сечений заданной рамы от каждого из вышеперечисленных кинематических воздействий.

Для расчёта рамы в матричной форме с учётом только изгибных деформаций её элементов используем соотношение (17.21). В этом случае L= М, В = В_М,S_c = M_cи матричное выражение (17.21) примет вид:

.

В дальнейшем воспользуемся некоторыми результатами расчёта этой же рамы на силовое воздействие (см. п. 16.8 шестнадцатой лекции).

1. Выбор основной системы метода сил (рис. 16.14,б, рис. 17.10), построение в ней эпюр изгибающих моментов от Х₁= 1, Х₂= 1 (рис. 16.14,в,г), нумерация участков и сечений (рис. 16.16), формирование матриц изгибающих моментов в основной системе от Х₁= 1, Х₂= 1 и внутренней упругой податливости рамы М и В_М, вычисление элементов матрицы внешней податливости= М^ТВ_ММ, обращение этой матрицы.

Примечание. Для расчёта рамы на температурное воздействие (см. п. 17.3) и в настоящем примере количество сечений на грузовых участках ригеля сохранено таким же, как и при расчёте рамы на силовое воздействие (рис. 16.16). Это обусловлено тем, что расчёт статически неопределимых систем на температурные и кинематические воздействия с помощью вычислительной техники производится вместе с расчётом на силовое воздействие. В частности, на кафедре строительной механике НГАСУ для расчёта статически неопределимых систем методом сил на все виды независимых друг от друга воздействий (силовые, температурные и кинематические) используется программа "Mefor", разработанная профессором В.Г. Себешевым.

2. Формирование матрицы реакций в связях, получивших перемещение, от Х₁= 1, Х₂= 1 в основной системе (рис. 17.11).

.

В первой строке этой матрицы сначала от Х₁= 1 (первый столбец), затем от Х₂= 1 (второй столбец), зафиксированы реакции вертикальной связи левой опоры, во второй – реакции горизонтальной связи опоры центральной стойки, в третьей – вертикальной связи опоры центральной стойки, в четвёртой – правой опорной связи. Напоминаем, что реакция в смещаемой связи вносится в матрицуR_cсо знаком "плюс", если её направление совпадает с направлением смещения связи, и со знаком "минус", – если не совпадает.

3. Составление матрицы величин перемещений опорных связей (в м) по вариантам воздействий.

4. Вычисление матрицы перемещений по направлениям Х₁и Х₂от заданных кинематических возмущений в основной системе, или матрицы свободных членов системы канонических уравнений (17.16).

_с==

5. Определение элементов матрицы неизвестных метода сил.

X = –^-1_c = –(M^T B_M M)^-1 (R_c E ­_(c)) =

=

.

6. Получение матрицы изгибающих моментов М_св заданной раме по вариантам кинематических воздействий (рис. 17.10) в соответствии с принятой нумерацией участков и сечений (рис. 16.16).

Читателям предлагается (используя соотношение (17.22), самостоятельно произвести кинематическую проверку правильности вычисления элементов матрицы М_си построить для заданной рамы сначала эпюры изгибающих моментов, а затем и эпюры поперечных и продольных сил от упомянутых выше смещений опорных связей.