10.2. Основные сведения из теории вероятности и математической статистики

Величина называется случайной, если в каждом отдельном случае нельзя однозначно точно предсказать ее значение. Случайная величина не может быть определена одним значением. При каждом наблюдении мы получаем одно из ее возможных значений, которое называется реализацией случайной величины и обозначается.

В качестве примера случайной величины рассмотрим предел прочности материала. Пусть в результате испытаний определенного количества образцов получена совокупность значений прочности. Эта совокупность может быть представлена гистограммой. Для этого область изменения случайной величины по оси абсцисс разбивается на равные интервалы, а по оси ординат откладывается отношение количества попаданий в каждый интервалк общему числу всех испытаний(рис.10.1).

Рис.10.1

В пределе при очень большом количестве образцов и малом интервале разбиения получаем непрерывную функцию, котораяназывается функцией плотности распределения случайной величины (в данном случае прочности) или просто плотностью распределения (рис. 10.2).

Одно из свойств плотности распределения состоит в том, что площадь под кривой равна единице:

. (10.3)

Рис.10.2

Определим вероятность того, что случайная величинав результате испытания примет значение, меньшее. Эта вероятность будет равна площади под кривой плотности распределения, лежащей левее абсциссы(рис. 10.2). Функцию(рис.10.3) можно получить интегрируя функцию плотности распределения.

. (10.4)

Из (10.4) следует, что

.

Рис. 10.3 Рис. 10.4

Плотность распределения, так же как и функция распределения в полном объеме характеризует случайную величину , т.е. является одной из форм закона распределения. Основными параметрами характеристики случайной величины являются: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия.

Математическое ожидание представляет собой среднее значение самой случайной величины и определяется как:

. (10.5)

Используя геометрические представления, мы можем определить математическое ожидание случайной величины как абсциссу центра тяжести площади под кривой плотности распределения (рис.10.4).

Обычно кривая плотности распределения имеет колоколообразный вид и наиболее вероятные значения случайной величины лежат в окрестности математического ожидания. Чем более пологий вид имеет кривая плотности распределения, тем больше рассеяна случайная величина, т.е. имеет большую изменчивость. В качестве меры или характеристики рассеяния относительно математического ожидания принимается величина:

, (10.6)

называемая дисперсией, которая представляет собой момент инерции площади под кривой плотности распределения относительно вертикальной центральной оси, проходящей через математическое ожидание.

Для того, чтобы привести характеристику рассеивания к размерности случайной величины, предпочитают рассматривать величину – неотрицательное значение корня квадратного из величины дисперсии:

, (10.7)

называемую средним квадратическим отклонением или стандартом.

Следует отметить, что существует бесконечное множество законов распределения, но на практике используются лишь некоторые из них. Особое положение занимает нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса), который характеризуется соответственно плотностью вероятности и функцией распределения:

, (10.8)

, (10.9)

где и– математическое ожидание и дисперсия нормального распределения.

Коэффициент перед экспонентой в (10.8) вводится в соответствии со свойством (10.3) для того, чтобы площадь под кривой плотности распределения была равна единице (рис.10.2).

Широкое использование нормального закона основано на центральной предельной теореме теории вероятностей. Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, подчиненных любым законам распределения, приближается к нормальному закону с увеличением количества суммируемых величин.

Если ввести новую переменную , называемойхарактеристикой безопасности, то выражение (10.9) можно привести к удобному для табуляции виду:

(10.10)

где – независимая переменная, изменяющаяся в пределах;– интеграл вероятностей Гаусса или функция Лапласа (табл.10.1).

Таблица 10.1

z		z		z	F(z)
0.00 0.01 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10	0.0000 0.0040 0.0199 0.0398 0.0596 0.0793 0.0987 0.1179 0.1368 0.1554 0.1736 0.1915 0.2088 0.2257 0.2422 0.2580 0.2734 0.2881 0.3023 0.3159 0.3285 0.3413 0.3531 0.3643	1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30	0.3749 0.3849 0.3944 0.4032 0.4115 0.4192 0.4265 0.4332 0.4394 0.4452 0.4505 0.4554 0.4599 0.4641 0.4678 0.4713 0.4744 0.4772 0.4798 0.4821 0.4842 0.4861 0.4878 0.4893	2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00 3.05 3.10. 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.50 5.00	0.4906 0.4918 0.4929 0.4934 0.4947 0.4953 0.4960 0.4965 0.4970 0.4974 0.4978 0.4981 0.4985 0.49865 0.49932 0.49966 0.49931 0.49966 0.499841 0.4999968 0.499968 0.499997 0.49999997