Следовательно, s =1. Частное решение ищем в виде yч2.н. = xex (Asin x + B cos x).

Для определения значений неопределённых коэффициентов вычислим производные этой функции.

y′ = ex (Asin x + B cos x) + xe x ( Asin x + B cos x) +

+ xex ( Acos x − B sin x) .

y′′ = ex (Asin x + B cos x) + ex ( Acos x − B sin x) +

+ex (Asin x + B cos x) + xex (Asin x + B cos x) +

+xe x ( A cos x − B sin x) + ex ( Acos x − B sin x) +

+xex (Acos x − Bsin x) + xex (−Asin x − Bcos x) .

Упростим выражение для y′′

y′′ =		2e x ( Asin x + B cos x) + 2e x ( Acos x − B sin x) +
+2xex (Acos x − Bsin x) .
Подставляем значения y, y′ и y′′							в исходное уравнение
получим:		A =1/ 4, B = 0 .
			yч2.н. = −		1	xex sin x.
					4
y	o.н.	= C ex	cos x +C	ex sin x + 1 ex			− 1 xex sin x .
		1	2		2		4

9.4.4. Уравнение движения маятника как пример линейного уравнения

Примером линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение колебания маятника:

y′′+ α y′+ k y = f (t)

Рассмотрим сначала случай f (t)= 0 . В этом случае

уравнение является однородным. Физически это означает, что маятник движется свободно, на него не действуют внешние (вынуждающие) силы,

y′′+ α y′+ k y = 0

51

Характеристическое уравнение имеет вид

λ2 +αλ + k = 0 .

Решая его, найдем корни

λ1,2 =	−α ±	α2	− 4k	.
		2
Исследуем разные случаи.
а) α2 − 4k > 0 . Физически		это	соответствует достаточно

сильному трению (сопротивлению) среды. Оба корня λ1 и λ2 в этом случае действительны, различны и отрицательны, и им

отвечают два	решения y = eλ1t					и y	2	= eλ2t .	Общее решение
			1
имеет вид y = C eλ1t		+C	eλ2t
	1	2
Рассмотрим задачу Коши с начальными данными
				0	,	′		0
		y( 0 ) = y0				y ( 0 ) = y1 .
Постоянные C1 и C2 можно						однозначно			определить из
начальных условий. Действительно,
0	= C1	+C2
y0				.
0	= C1λ1 +C2 λ2
y1

Получили линейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных C1 и C2 . Определитель этой системы

отличен от нуля. Полученное таким образом решение начальной задачи

y =

λ

2

y0

− y0

λ t

λ

1

y0

− y0

e

λ

t

,

0

1

e 1 +

0

1

2

λ2 −λ1

λ1 −λ2

не осциллируя, приближается с ростом t

к решению y = 0 .

б) α2

− 4k < 0 .

Физически

это

соответствует достаточно

слабому трению (сопротивлению) среды. В этом случае λ1 и λ2

являются комплексно сопряженными:

λ2

=

1 и

λ

λ t

= e

−

αt

β

t +i sin

β

= y , где β =

4k −α

2

.

y = e 1

2 cos

2

2

t , y

1

2

1

52

Нетрудно видеть, что y1 = Re y1 , y2 = Im y1 также являются решениями уравнения. Действительно,

(y1 +iy2 )″ + α(y1 +iy2 )′ + k(y1 +iy2 )=

=y1″ + αy1′ + ky1 +i y2″ + αy2′ + ky2 = 0.

Приравнивая к нулю отдельно вещественную и мнимую части, получим требуемое утверждение.

Возьмем линейную комбинацию y1 и y2 , получим

y = C y

+C

y

−αt

cos

β

t +C

−αt

sin

β

t .

2

2

= C e 2

e 2

1

1

1

2

2

2

Нетрудно убедиться,

что,

как и в предыдущем случае, C1 и

C2 однозначно определяются начальными условиями.

Решение задачи:

0

−αt

β

2

0

α

0

−αt

β

y = y

e 2

cos

2

t +

y

+

2

y

e

2 sin

2

t

0

β

1

0

описывает колебательный процесс. Колебания затухают по закону

−αt
exp	. С ростом t это решение также стремится к положению
2
равновесия y = 0 .
Если	α =0	(сопротивление							отсутствует), то получаем
периодические колебания с частотой ω0 = k ,
	y = y0		cos ω	t +	1			y0	sin ω		t .
					ω
		0	0			0	1		0
в) α2 − 4k = 0 . В этом случае описанный способ даёт только
одно решение y		= eλt , где λ =						−α		. Нетрудно проверить, что в
	1						2

этом случае решением является также функция y2 = teλt .

53

9.4.5. Метод Лагранжа для линейных неоднородных уравнений

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка можно найти методом Лагранжа. Это метод называется также методом вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим этот метод на примере линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-ого порядка:

y′′+ a1 y′+ a2 y = f (x).

Пусть известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, тогда его общее

решение имеет вид yo.o. = C1 y1 (x)+C2 y2 (x). Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде

yo.н. = C1 (x)y1 (x)+C2 (x)y2 (x),

где C1 (x) и C2 (x) – неизвестные функции. Их нужно выбрать так, что бы функция yo.н. была решением неоднородного уравнения.

Подставим это решение в исходное уравнение. Найдем предварительно

y′ = C1′(x)y1 (x)+C2′(x)y2 (x)+C1 (x)y1′(x)+C2 (x)y2′(x).

Выберем C1 (x) и C2 (x) так, чтобы

C1′(x)y1 (x)+C2′(x)y2 (x)= 0 ,

тогда

y′ = C1 (x)y1′(x)+C2 (x)y2′(x).

Найдем

y′′ = C1′(x)y1′(x)+C2′(x)y′2 (x)+C1 (x)y1′′(x)+C2 (x)y′2′(x).

Подставим y, y′, y′′ в исходное уравнение.

C1′(x)y1′(x)+C2′(x)y2′(x)+C1 (x)y1′′(x)+C2 (x)y′2′(x)+

+ a1 (C1 (x)y1′(x)+C2 (x)y2′(x))+ a2 (C1 (x)y1 (x)+C2 (x)y2 (x))= f (x)

Заметим, что

C1 (x)y1′′(x)+C2 (x)y2′′(x)+ a1 (C1 (x)y1′(x)+C2 (x)y2′(x))+

+ a2 (C1 (x)y1 (x)+C2 (x)y2 (x))= 0

54

тогда C1′(x)y1′(x)+C2′(x)y′2 (x)= f (x).

Таким образом, производные C1′(x) и C2′(x) находятся как

решения алгебраической системы уравнений

C1′(x)y1 (x)+C2′(x)y2 (x)= 0C1′(x)y1′(x)+C2′(x)y2′(x)= f (x).

Определителем этой системы является Вронскиан W. Поэтому система имеет единственное решение.

Решив эту систему относительно производных C1′(x), C2′(x),

найдем и сами функции C1 (x) и C2 (x). А тогда и общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

		′′		1
	Пример 1. Решить уравнение y		+ y = cos x		методом
	Лагранжа.

Общее решение соответствующего однородного уравнения

	имеет вид y = C1 cos x +C2 sin x . Решение							неоднородного
	уравнения ищется в виде:
	y = C1 (x) cos x +C2 (x) sin x .
	Неизвестные функции C1( x ) и C2 ( x ) определяются из
	системы уравнений
	C′(x) cos x +C′(x) sin x = 0
	1	2			1
	−C1′	(x) sin x +C2′(x) cos x =						,
					cos x
	откуда	= − sin x , C1 (x) = ln
	C1′(x)			cos x			+C1 ;
		cos x
		C2′( x ) =1, C2 (x) = x +C2 .

Общее решение исходного уравнения запишется в виде:

y = C1 cos x +C2 sin x + cos x ln cos x + xsin x.

55