Доказательство

′

e x

−e−x ′

e x

+ e−x

′

ex +e−x

′

ex

−e−x

(sh x)

=

=

= ch x ;

(ch x)

=

=

= sh x .

2

2

2

2

′

sh x ′

sh′x ch x −ch′x sh x

ch 2

x −sh 2 x

1

(th x)

=

=

=

=

,

так

как

ch x

ch 2 x

ch 2

x

ch 2

x

ch 2 x −sh 2 x =1.

′

1 ′

1

1

ch

2 x

1

1

(cth x)

=

= −

= −

= −

.

th x

th 2 x

ch

2 x

sh

2 x ch 2 x

sh

2

x

Полученные результаты запишем в таблицу 3.

Таблица 3. Производные основных элементарных функций.

(xα )′ = αxα−1

(arcsin x)′ =

1

1 − x2

(ex )′ = e x

(arc cos x)′ = −

1

1 − x2

(a x )′ = a x ln a

(arctg x)′ =

1

+ x2

1

′

1

′

1

(ln x)

=

(arcctg x) = −

x

1+ x2

(loga x)′ =

1

(sh x)′

= ch x

x ln a

(sin x)′ = cos x

(ch x)′

= sh x

(cos x)′ = −sin x

′

1

(th x)

=

ch 2 x

′

1

′

1

(tg x)

=

(cth x)

= −

cos2 x

sh 2 x

′

1

(ctg x)

= −

sin2 x

1.6. Примеры вычисления производных

Пример 1

Вычислите производную функции y = e−x2 .

Решение

По правилу дифференцирования сложной функции следует сначала вычислить производную экспоненты по ее сложному аргументу − x2 . Это означает, что в табличной производной (ex )′ = ex переменную x нужно заменить переменной − x2 . Эту

производную необходимо умножить на производную от сложного аргумента − x2 по переменной x . Правило дифференцирования заданной функции можно записать в следующем виде

18

y′= (e−x2 )′ (− x2 )′ =e−x2 (−2x).

Пример 2

Вычислите производную функции y = cos(3x −2).

Решение

Заданная функция является суперпозицией трех функций y = (cos(3x −2))1 . Будем

2

дифференцировать эту функцию, используя правила дифференцирования, начиная с внешней, степенной функции:

y′ = (cos(3x − 2))12 ′ (cos(3x − 2))′ (3x − 2)′.

При этом следует понимать, что дифференцируя внешнюю функцию (степенную или косинус), нельзя менять ее сложный аргумент. Используя таблицу производных, получим

y′ = 12 cos−12 (3x − 2) (−sin(3x −2)) 3 .

	Упростим полученное для производной выражение
	y	′	3sin(3x −2)
			= − 2 cos(3x	−2) .

Пример 3

Вычислите производную функции y = arctg x ln x .

Решение

По правилу дифференцирования произведения функций

y′ = (arctg x )′ ln x +arctg x (ln x)′.

По таблице производных (ln x)′ =			1	.
			x
Функция arctg	x является сложной, ее производную следует вычислять по правилу
дифференцирования суперпозиции функций.
′	′		′		1		1	′	1		1		−	1			1		1
														2
							2
(arctg x ) = (arctg x ) (		x ) =			1 + ( x )2	x		=			2	x			=					.
									1 + x							1	+ x		2 x
Производная заданной функции равна
	y′ =	1			1				1
		1+ x			2 x ln x +arctg				x x .

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Производная степенной функции y = x очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее запомнить

( x )′ =	1	.
2	x

Пример 4

tg 1

Вычислите производную функции y = x .

3sin x

19

Решение

По правилу дифференцирования частного двух функций, производную от заданной функции можно записать в виде:

				(tg	1	)′ 3sin x − tg		1	(3sin x )′
								x
		y′	=		x					.
							(3sin x )2
Функции tg	1	и 3sin x –	сложные.				Поэтому		производные от этих		функций по
	x
переменной x вычислим, используя правило									дифференцирования		суперпозиции
функций

(tg 1x )′ = (tg 1x )′ (1x )′.

Производная от

функции

tg

1

по

переменной

1

получится, если

в

табличную

x

x

производную (tg x)′ =

1

подставить переменную

1

вместо переменной x , то есть

cos2 x

x

(tg

1

)′ =

1

.

1

x

cos2

x

1

′

1

= x−1 и

Производная

может быть вычислена по таблице,

если учесть,

что

x

x

использовать правило дифференцирования степенной функции, то есть

1

′

′

1

=

(x−1 ) = (−1) x−2

= −

.

x2

Тогда

x

1

′

1

1

1

(tg

)

=

−

= −

.

1

1

x

cos2

x2

cos

2

x2

x

x

Аналогично, по правилу дифференцирования суперпозиции функций вычисляется производная от функции 3sin x .

(3sin x )′ = (3sin x )′ (sin x)′ = 3sin x ln 3 cos x .

Подставим вычисленные производные в формулу для производной частного и запишем производную от заданной функции в виде:

−

1

3sin x − tg

1

3sin x ln 3 cos x

y′ =

cos2

1

x2

x

x

.

32sin x

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Производная степенной функции y =

1

очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее

x

запомнить

1

′

1

= −

.

x2

x

20