Производная f ′(x)= 0 при x = ±1 и производная f ′(x) не существует при x = 0 . Вычислим значения функции в этих точках: f (±1)= − 23 . f (0)= 0 . Значения функции на концах заданного промежутка равны: f (±8)=17 13 .

Следовательно, наибольшее значение функции равно 17 13 при x = ±8 , наименьшее значение функции равно − 23 при x = ±1.

3.2.5. Элементы дифференциальной геометрии плоских кривых

Если каждому	значению	вещественной переменной t D R поставлен в
соответствие вектор	ar(t) R3 ,	то говорят, что на множестве D задана векторная

функция a(t) вещественной переменной t .

Задание векторной функции a(t) равносильно заданию трех числовых функций: x(t),

y(t) и z(t) – координат вектора a(t), т.е.

ar(t)= x(t)ir + y(t)j + z(t)k , или a(t)= {x(t), y(t), z(t)}.

Если вектор a(t) является радиус–вектором точки M (x, y, z), то соответствующую векторную функцию обозначают:

r = r (t)= {x(t), y(t), z(t)}.

При этом линия, которую описывает конец

вектора

r

называется годографом

векторной функции r (t).

Уравнения x = x(t), y = y(t),

z = z(t)

–

являются параметрическими уравнениями

годографа.

Пример 3.2.8

−t

2

2t

Найти годограф вектор–функции rr(t)=

1

,

, 1 .

+t2

1 +t2

1

Решение

Уравнения годографа:

x =

1

−t2

,

y =

2t

, z =1 .

1

+ t2

1

+t2

Исключая параметр t , получим

(1 −t2 )2 + 4t2

(1 +t2 )2

x

2

+ y

2

=

=

=1.

(1 +t2 )2

(1 +t2 )2

2

+ y

2

=1 радиуса 1, лежащая в

Следовательно, годографом является окружность x

z =1

плоскости z =1 , из которой исключена точка M (−1, 0, 1), соответствующая t → ±∞ .

Производной вектор–функции a(t) по переменной			t называется новая вектор–
функция	= lim a(t +	t)− a(t)
da			,
dt	t →0	t

если предел существует и конечен.

47

Для производной ddta справедлива формула

dar	dx(t)		,	dy(t)	,	dz(t)
dt	=	dt		dt		dt	,

если a(t)= {x(t), y(t), z(t)}.

Пример 3.2.9

Найти производную вектор–функции rr(t)= sin t i +cos2 t j +sin t cost kr.

Решение

drr(t)= cost ir − 2cost sin t rj + cos 2t kr. dt

Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость

Уравнение касательной к пространственной кривой x = x(t), y = y(t), z = z(t) в точке M0 (x0 , y0 , z0 ), соответствующей значению параметра t0 имеет вид:

x − x0 = y − y0 = z − z0 . dxdt (t0 ) dydt (t0 ) dzdt (t0 )

Уравнение нормальной плоскости в этой же точке записывается в виде dxdt (t0 )(x − x0 )+ dydt (t0 )(y − y0 )+ dzdt (t0 )(z − z0 )= 0 .

Пример 3.2.10
Написать	уравнение касательной и нормальной плоскости к кривой
rr(t)= (t2 −1) ir	+(t2 +1) rj +t3 kr в точке M0 (0, 2, 1).

Решение

Данной точке соответствует значение параметра t =1.

Поскольку dxdt = dydt = 2t , dzdt = 3t2 . То уравнение касательной имеет вид:

x	=	y −2	=	z −1	,
2		2
			3

а уравнение нормальной плоскости запишется в виде:

2x + 2 y +3z −7 = 0 .

Дифференциальные характеристики плоских кривых

Пусть в плоскости xOy годографом вектор–функции r = r (s)= {x(s), y( )} является

x = x(s)

плоская кривая y = y(s), где s – длина дуги кривой.

Определение 3.2.9

Кривизной кривой в точке M0 называется число, равное абсолютной величине предела отношения угол поворота касательной, соответствующей дуге M0M , к длине этой дуги, если предел существует, т.е.

48

			ϕ
	K =	lim		,
			s
		M →M 0

где ϕ – угол поворота касательной, соответствующей дуге M0M (рис. 3.2.17) данной кривой, а s – длина этой дуги.

r

r(

)s

					M0		M
							ϕ
							3.2.17.
	Число R =	1	называется радиусом кривизны.
		K
	Можно доказать, что кривизна определяется соотношением:
					d 2rr(s)		, где r = r (s)= {x(s), y( )}.
			K =
					ds2

Формулы для вычисления кривизны плоской кривой зависят от того, как задана эта кривая.

•если кривая задана явным уравнением y = f (x), то

K =	y′′			;	(3.2.1)
	3
	(1 + y′2 )
		2

• если кривая задана неявным уравнением F(x, y)= 0 , то

F′′2

F′′

F

′

x

xy

x

F′′

F′′2

F′

xy

y

y

K =

Fx′

Fy′

0

;

(Fx′2 + Fy′2 )

3

2

•если кривая задана параметрическими уравнениями

				′	y		′
			x
K =			x	′′	y		′′				;
								3
	(x		′2	+ y		′2		)
								2

(3.2.2)

x = x(t)

= ( ), то

y y t

(3.2.3)

•если кривая задана в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), то

K =	r2	+ 2r′2 − rr′			.	(3.2.4)
		3
	(r2 + r′2 )
			2

49

Определение 3.2.10

Окружностью кривизны кривой в ее точке M (x, y) называется предельное положение окружности, проведенной через точку M и две другие точки P и Q этой кривой при P → M и Q → M .

При этом радиусом этой окружности будет радиус кривизны кривой в точке M , а центр окружности кривизны (центр кривизны) лежит на нормали к кривой, проведенной в точке M (x, y) в сторону вогнутости кривой.

Координаты X и Y центра кривизны определяются формулами:

	X = x −	y′(1 + y′2 )		, Y = y +	1 + y′2 .	(3.2.5)
		y′′
					y′′

Определение 3.2.11

Эволютой кривой называется линия, которую описывает центр кривизны при движении точки по этой кривой. Уравнения (3.2.5) являются параметрическими уравнениями эволюты.

Пример 3.2.11
Вычислить кривизну параболы y = x2					в точке M0 (1, 1) и найти эволюту этой кривой.
Решение
Поскольку y′ = 2x , y′(M0 )= 2 ,			y′′	= 2 ,				то, используя формулу (3.2.1), вычислим
кривизну
K	=		y′′				=	2	=	2	.
				3				( 1 + 22 )3
		(1 + y′2 )								5 5
					2

Пример 3.2.12

Написать параметрические уравнения эволюты кривой y = x2 .

Решение

Поскольку y′ = 3x2 , y′′ = 6x , то, используя формулу (3.2.5), получим

X = x −

3x2

(1 +9x4 )

=

3x2

(1 −

9x4 )

=

x(1

−9x4 )

,

6x

6x

2

Y = y +

1

+ 9x4

6xy +1 + 9x4

=

1

+15x4

.

6x

=

6x

6x

Обозначая параметр через t , получим

= t −9t

x

5

2

4 .

1 +16t

y

=

6t

50