Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»

(СПбГМТУ)

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА

Направление подготовки: 180100 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры»;

Профили подготовки: 1.180100.62.01 «Кораблестроение», 1.180100.62.03 «Океанотехника».

Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр техники и технологии

Форма обучения: очная

Санкт-Петербург

2011

1

Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной

4.1. Первообразная. Простейшие способы интегрирования

Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Простейшие способы интегрирования. Методы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

4.1.1.Первообразная функция

Вразделе 3 мы ввели понятие производной и научились находить производную от данной функции.

Вэтой главе мы будем решать обратную задачу, а именно: известна функция f (x) ,

требуется найти такую функцию F(x) , производная которой равна

f (x) , т.е. F ' (x) = f (x) .

Определение 4.1.1.

Функция F(x) называется первообразной для функции

f (x)

на интервале

(a; b) ,

если

F(x)

дифференцируема на (a; b) и F ' (x) = f (x) .

ЗАМЕЧАНИЕ

Аналогично можно определить понятие первообразной на отрезке [a;b], но в точках

а и

b надо

рассматривать односторонние производные.

Пример 4.1.1

1

1

1)

F(x) =

x есть первообразная для функции f(x) =

на (0; ∞) , т.к. (

x )' =

.

2

x

2

x

2)

Для функции f (x) = x2 первообразной будет функция

F(x) =

x3

на

(−∞;+∞) ,

т.к.

3

x3

'

= x2 .

3

Теорема 4.1.1

С –

Если F(x)

первообразная для функции f (x) на (a; b) ,

то

F(x) +C , где

любое

постоянное число, также первообразная для f (x) .

Доказательство

(F(x) +C)' = F ' (x) + 0 = F ' (x) = f (x) .

Теорема 4.1.2

Если F1(x)

и F2 (x) – две первообразные для f (x)

на

(a; b) , то на (a; b) справедливо

F1(x) − F2 (x) = C , где С – постоянная.

Доказательство

По условию F '1(x) − F '2 (x) = f (x) . Составим функцию Ф(x) = F (x) − F (x)

и найдём ее

1

2

производную x (a;b) :

Ф' (x) = (F1( x) − F2 ( x))' = F1' ( x) − F2' (x) = f (x) − f (x) = 0 .

Следовательно Ф(x) = C , т.е. F1(x) − F2 (x) = C .

2