Лекция 05. Гиперболические функции
.docЛекция 5. Гиперболические функции.
5.1. Гиперболические косинус и синус.
Гиперболический косинус – это функция, зависящая от переменной х: .
Обозначение ch – сокращение латинских слов соsinus hyperbolicus.
Cвязь с показательной функцией следующая:
. (5.1)
График функции изображён на рис. 5.1.
Функция принимает значения, не меньшие единицы ().
|
Рис. 5.1. |
Гиперболический синус – это функция, зависящая от переменной х: .
Обозначение sh – сокращение латинских слов sinus hyperbolicus.
Cвязь с показательной функцией следующая:
. (5.2)
График функции изображён на рис. 5.2.
Функция принимает все возможные значения.
Рис. 5.2. |
5.2. Гиперболические тангенс и котангенс.
Гиперболическим тангенсом и котангенсом называются соответственно функции
, (5.3)
. (5.4)
Значения функции содержатся между –1 и +1, значения больше +1 при и меньше –1 при . Прямые и служат горизонтальными асимптотами для обеих функций и .
График функции изображён на рис. 5.3, – на рис. 5.4.
Рис. 5.3. |
Рис. 5.4. |
5.3. Формулы для гиперболических функций.
Гиперболические функции связаны отношениями
, , , .
Для гиперболических функций доказываются формулы, аналогичные тригонометрическим. Так, например,
,
,
.
Эти формулы вытекают из формул (5.1)–(5.4).
Для каждой тригонометрической формулы, не содержащей постоянных величин под знаками тригонометрических функций, есть аналогичное соотношение между гиперболическими функциями. Для получения этих соотношений нужно в тригонометрических формулах заменить всюду на , а на , мнимости устранятся сами собой.
Пример 5.1. Из тригонометрической формулы c помощью указанной замены получаем .
Разделив обе части равенства на i, получим .
Пример 5.2. Из формулы получаем .
Так как , то .
5.4. Обратные гиперболические функции.
Для гиперболических функций , , , существуют обратные гиперболические функции:
– гиперболический ареасинус (рис. 5.5),
– гиперболический ареакосинус (рис. 5.6),
– гиперболический ареатангенс (рис. 5.5),
– гиперболический ареакотангенс (рис. 5.7).
Слово area в переводе с латинского означает площадь, что и объясняет приведённые названия.
Функция однозначно определена на всей числовой оси. Через элементарные функции она выражается так: .
Функция однозначна, она определена в промежутке . Через элементарные функции выражается так: , где .
Рис. 5.5. |
Функция определена на интервале и двузначна, значения её равны по абсолютной величине и отличаются знаком. Обычно рассматриваются лишь положительные значения; соответствующая ветвь графика (главная ветвь) расположена выше оси Ох. При этом условии функция становится однозначной, через элементарные функции выражается так: , .
Рис. 5.6. |
Функция определена вне промежутка . Прямые служат асимптотами для кривой . Выразим через элементарные функции:
, где
Рис. 5.7. |