9) Провести оценку качества трендовой модели в целом.

Для оценки качества трендовой модели в целом необходимо рассмотреть ряд остатков – разностей значений ряда и значений тренда:

e_t=y_t- .

Впервые ряд остатков составлен в таблице J, предназначенной для вычисления стандартной ошибки коэффициентаb.

Для оценки качества трендовой модели проверяют следующие гипотезы:

а) о случайности ряда остатков методом поворотных точек(поворотная точка – точка экстремума, то есть точка, в которой значение элемента ряда остатководновременнобольше или меньше, чем значения в соседних точках); число таких точекd можно найтипо графику ряда остатков. Среднее число точек поворота для случайного рядаи их дисперсиянаходятся по эмпирическим формулам:

Затем вычисляют статистику .

Критерий принятия решения. Если< 1,96 (для коротких рядов), то гипотеза о случайности ряда остатков принимается и на уровне значимости 5% можно сделать вывод о том, что построенный тренд существует (высокого качества);

б) о равенстве математического ожидания ряда остатков нулюпо статистике

где - среднее значение ряда остатков,- среднее квадратическое отклонение ряда остатков; на 5% уровне значимости вычисленное значениеTсравнивается с критическим значениемT_кр, взятым из таблицыMc(n– 1) степенями свободы:

Таблица M

Критические значения распределения Стьюдента

k	3	5	7	10	13	16	20	30
Tкр	3,18	2,57	2,45	2,23	2,16	2,12	2,09	2,04	1,96

Критерий принятия решения. Если вычисленное значение статистики окажется меньше критического ее значения (T<T_кр), то гипотеза о равенстве математического ожидания ряда остатков нулю принимается и модель на уровне значимости 5% считается адекватной;

в) об отсутствии автокорреляции ряда остатков; при этом используется критерий Дарбина-Уотсона со статистикойDW:

Если DWследует использовать вспомогательную статистику

Расчетное значение DW(или) сравнивается с верхнимD₂и нижнимD₁критическими значениями статистикиDW, представленными в таблицеN, для различной длины рядаnи числа определяемых параметровkна уровне значимости 5% (0,05).

Таблица N

Критические значения статистики DW для различной длины ряда n и числа определяемых параметров k на уровне значимости 5%

n	K=1		K=2		K=3
	D1	D2	D1	D2	D1	D2
10	0,98	1,34	0,94	1,52	0,67	1,72
15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75
20	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65

Критерий принятия решения. Если расчетное значение статистикиDWбольше верхнего табличного значенияD₂, то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, то есть об отсутствии в ней автокорреляции, принимается.

Если значение DWменьше нижнего табличного значенияD₁, то эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.

Если же значение Dнаходится между значениямиD₂иD₁, включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод, и необходимы дальнейшие исследования, например, по большей выборке данных.

г) о возможности осуществления оценки соответствия тренда статистическим данным с помощью коэффициента детерминации; известно, что коэффициент детерминации R² является суммарной мерой общего качества уравнения регрессии (его соответствия статистическим данным)

В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается по формуле

Для этого коэффициента в общем случае справедливо соотношение 0 R^1.

Критерий принятия решения.ЧемR²ближе к нулю, тем слабее линейная связь междуXиYи тем менее качественным является тренд; чем ближеR²к единице, тем эта связь значительнее и тренд качественнее.

Коэффициент детерминации является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная прямая регрессии дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной Y, чем горизонтальная прямая.

Трендовая модель считается адекватной, если подтверждена большая часть гипотез.

Примечание. Решение рассматриваемого задания удобно начать с составления таблицыP .

Таблица P

Таблица трендовых значений и значений остатков ряда

t	yt		= yt -				-	(- )^2
1	51
2	55
3	62
4	70
5	81
6	75
7	116
8	115
9	125
10	120
 = ?								= ?

Для нахождения статистики

составляется таблица Q (в этой таблице первые два столбца составлены на основе четвертого столбца таблицыP)

Таблица Q

Таблица промежуточных вычислений для нахождения статистики DW

			^2
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
			= ?