- •Раздел 1. Пространство элементарных событий (пэс). Операции над случайными событиями
- •Раздел 2. Классическое определение вероятности
- •Раздел 3. Условная вероятность. Независимость событий
- •Раздел 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Раздел 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Раздел 6. Испытания Бернулли
- •Раздел 7. Теорема Муавра-Лапласа и Пуассона
- •Раздел 8. Функция распределения и числовые характеристики случайной величины
- •Раздел 9. Основные типы распределений случайных величин
- •Раздел 10. Двумерные случайные величины. Зависимость случайных величин
- •Раздел 11. Предварительная обработка выборки. Эмпирическая функция рапределения. Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.
- •Раздел 12. Доверительный интервал
- •Раздел 13. Проверка статистических гипотез
- •Раздел 1
- •Раздел 5
- •Раздел 9
- •Раздел 10.
- •Раздел 11.
- •Раздел 12.
- •Раздел 13.
Д.Н. Булгаков, Т.Е. Денисова
«Сборник задач по теории вероятностей»
Раздел 1. Пространство элементарных событий (пэс). Операции над случайными событиями
1. Опыт – 3 независимых бросания монеты. Исход опыта - упорядоченная тройкагде- результатi– го бросания – выпадения «герба» (Г) или «решетки» (Р).
а) Построить ПЭС опыта.
б) Описание события:
А– выпал один «герб»;В– выпало два «герба»;С– выпало не менее двух «гербов».
в) Найти Р(А),Р(В),Р(С).
2.ПустьА,В– события в некотором опыте. Чему равны событияА+А,А·А? При каком условииА·В=А?
3. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями радиусовОпыт – один выстрел, попавший в мишень. Событие- попадание в круг радиуса
а) Является ли множество ПЭС опыта?
б) Построить ПЭС опыта.
в) Что означают события:
?
Раздел 2. Классическое определение вероятности
В урне 3 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар:
а) белый, б) черный?
2. Из слова «наугад» случайно выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква: а) «а», б) согласная, в) «я»?
3.Бросается игральная кость. Какова вероятность того, что: а) число выпавших очков – 4, б) число выпавших очков больше 4, в) число выпавших очков – четное, г) число выпавших очков делится на 3?
Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что: а) сумма выпавших очков – 12, б) сумма выпавших очков – 11, в) сумма выпавших очков не менее 9, г) по крайней мере на одной кости выпала 1?
5. Из 5 карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одну за другой выбирают 3 карточки. Какова вероятность того, что получится слово «два»?
6. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
7. В лотерееnбилетов, из которых mвыигрышных. Участник лотереи покупаетkбилетов. Найти вероятность того, что у него выиграет хотя бы один билет.Указание: рассмотреть противоположное событие.
Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятности следующих событий:
А = первый студент взял «хороший» билет;
В = второй студент взял «хороший» билет;
С = оба студента взяли «хорошие» билеты.
(Задача о выборке) В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии наугад выбирают 6 изделий. Найти вероятность того, что среди 6 выбранных изделий 2 будут бракованными.
10. В урнеnшаров, из нихmбелых иn-mчерных. Из урны вынимают шар, который оказывается белым, и откладывают его в сторону. Затем из урны наугад вынимают ещё один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
11. В урнеnшаров, из нихmбелых иn-mчерных. Из урны наугад вынули один шар и, не глядя на него, отложили в сторону. Затем из урны наугад вынули ещё один шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что первый вынутый шар – белый..
12. В урнеnшаров, из нихmбелых иn-mчерных. Из урны наугад вынимают один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что последний оставшийся в урне шар будет белым.
Указать интерпретацию этой задачи в случае «хороших» и «плохих» экзаменационных билетов.
13. В урнеnшаров, из нихmбелых иn-mчерных. Из урны наугад вынимают один за другим все шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку вынут белый шар. Указать интерпретацию этой задачи в случае «хороших» и «плохих» экзаменационных билетов.
14.Студент заполнил карточку Спортлото «6 из 49». Найти вероятность событий: студент угадал 3 номера, 4 номера, 5 номеров, 6 номеров.
15.Из последовательности чисел 1, 2, …,nнаугад выбирают два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньшеk, а другое большеk, где 1 <k<n?
16.На подъезде установлен замок с кодом, который открывается, если в определённой последовательности набрать три разные цифры из имеющихся десяти. Некто забыл код и стал наудачу пробовать различные комбинации из трёх различных цифр, затрачивая на каждую попытку 20 секунд. Найти вероятность того, что он откроет подъезд в течение часа.