Алгебра и Геометрия / GeomAlgebra

165.	0		0	1				1		¢¢ ¢¢ ¢¢				0		1						166.			0		0		1	a		a2			¢¢ ¢¢ ¢¢		an¡1		1
	B		1 1 0											0		C.									B		1 a a2					a3					an		C.
			0 0 1 ¢ ¢ ¢ 0																								0 0 1 a ¢ ¢ ¢ an¡2
	B		0¢ ¢0 ¢					0¢ ¢ ¢ ¢ ¢1								C									B		0¢ ¢0 ¢			0¢ ¢ ¢0¢ ¢ ¢ ¢ ¢1¢ ¢									C
	B															C									B														C
	B															C									B														C
	@									¢ ¢ ¢						A		1							@										¢ ¢ ¢				A
167.	0 a 1 0 ¢¢ ¢¢ ¢¢													0 0										168.			0 0 1 2 ¢¢ ¢¢ ¢¢									n ¡ 2 n ¡ 1 1
	B		1	0				0						0			0	C.									B		1	2		3				n ¡ 1				n		C.
			0 a 1 ¢ ¢ ¢ 0 0																										0 0 1 ¢ ¢ ¢ n ¡ 3 n ¡ 2
	B		0¢ ¢0 ¢					0¢ ¢ ¢ ¢ ¢a¢ ¢1										C									B		0¢ ¢0 ¢			0¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢					1¢ ¢ ¢ ¢ ¢2¢					C
	B																	C									B															C
	B									¢ ¢ ¢								C									B		0 0 0					¢ ¢ ¢			0			1		C
	@																	A									B															C
																											B															C
169.	0		1	0				1		¢¢ ¢¢ ¢¢				1		1						170.			0		@		¡2					¢ ¢ ¢			0	1				A
																											¡1					¡1			¢¢ ¢¢ ¢¢
	B		1	1				1						1		C.									B			2			1		0				0	C.
			1 1 0 ¢ ¢ ¢ 1																									0 ¡1					2 ¢ ¢ ¢ 0
	B		1¢ ¢1 ¢					1¢ ¢ ¢ ¢ ¢0								C									B		¢ 0¢ ¢ ¢0¢ ¢ ¢0¢ ¢ ¢ ¢ ¢2											C
	B															C									B													C
	B															C									B													C
171.	@		1	0				1		¢ ¢ ¢				1		A						172.			@			1			1 + a				¢ ¢ ¢			A			1	1
	0									¢¢ ¢¢ ¢¢						1									0											1		¢¢ ¢¢ ¢¢
	B		0	1				1						1		C.									B		1 + a					1				1					1	C.
			1 1 0 ¢ ¢ ¢ 1																									1				1			1 + a ¢ ¢ ¢						1
	B															C									B																	C
	B				1=a					¢ ¢ ¢				1		C							1		B						1							¢ ¢ ¢				C
	@															A									@																	A
	B		1¢ ¢1			¢		1¢ ¢ ¢ ¢ ¢						0		C									B			¢ 1¢ ¢ ¢ ¢				1¢ ¢ ¢ ¢ ¢1 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢								1¢	+¢ ¢a C
173.	0		1 +		1				1	1 + 1=a2													1		¢¢ ¢¢ ¢¢						1			1
	B				1									1						1 + 1=a3 ¢ ¢ ¢											1			C.
	B																																	C
	B		¢ ¢ 1¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢											1¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢									1¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 1¢ +¢ ¢1=a¢ ¢											C
	B																								¢ ¢ ¢								n	C
	@																																	A
Решить матричные уравнения:																													¢ µ		5		¡4		¶		µ	¡5		6	¶.
174.	µ	3		4	¶			¢	X =				µ			5	9			¶				175. X
176.	µ	1		2									µ			3	5 .												¶.		3		¡2			=		¡1		2
		5		¡2			¶ ¢					¢				7		8		¶			µ		9		10
177.	0	3		¡1						X						5		6		0		=		14			16
			3		2			¡4			1				X =							10		¡2		7		1.
			1		2				3											@			1		3	0
	@ 2 ¡1							¡0 A ¢							2		1					10			7 8 A
178. X			0			1				3									=		0		¡5		9			0	1.
						5				3					1								¡8		3			0
179.	0	¢ @ ¡5							¡2				¡1				A @ ¡2 15 0 A														12				9	1.
			4	¡5				2		1			X				0		1			1	2 1 = 0						18
	@		2 ¡3 1													¢ @			9 7 6										2 0 ¡2							A
			5 ¡7 3 A ¢																1 1 1 A @ 23 15 11
	0		0 1 1 ¢¢							¢¢ ¢¢			1 1										0	0 1		2 ¢¢ ¢¢ ¢¢					n ¡ 1				1
180.	B		1	1			1						1			C ¢ X =							B	1	2		3		¢ ¢ ¢				n		C.
			0	0			1 ¢ ¢ ¢						1											0	0		1				n ¡ 2
	B															C							B												C
	B								¢ ¢ ¢							C							B						¢ ¢ ¢						C
	@															A							@												A
	B		0¢ ¢0 ¢				0¢ ¢ ¢ ¢ ¢1 C																B 0¢ ¢0¢ ¢0 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢										1¢ ¢		C

11

181.	µ	4	¡6	¶ ¢			µ	4	6	¶				¢	µ	4	8	¶		µ	9		18	¶.
		2	¡3			X =		2	3	.	182. X					3	6		=		2		4
183.	µ	6	9	¢	X =		1		1	.	184.	0	4		¡3		3	1	¢	X =		0	1	11	7	1.
			¶				µ		¶				1		¡3		0						7	5	7
		4	6				1		1			@	3			1	2	A				@	3	9	7	A

185. Как изменится обратная матрица A¡1, если в данной матрице A: а) переставить i-þ è j-ю строки?

á) i-ю строку умножить на число c, не равное нулю?

â) ê i-й строке прибавить j-ю, умноженную на число c, или совершить аналогичное

преобразование столбцов?

186. Целочисленная квадратная матрица называется унимодулярной, если ее определитель равен §1. Доказать, что целочисленная матрица тогда и только тогда имеет

целочисленную обратную матрицу, когда данная матрица унимодулярна.

187. Показать, что матричное уравнение AX = 0, ãäå A квадратная матрица, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда jAj = 0.

188. Пусть A è B неособенные матрицы одного и того же порядка. Показать, что четыре равенства:

AB = BA, AB¡1 = B¡1A, A¡1B = BA¡1, A¡1B¡1 = B¡1A¡1

равносильны между собой.

ГЛАВА 3.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

6.	Метод Гаусса
Решить системы линейных уравнений:							2x1¡3x2+ 5x3+ 7x4 = 1;
189.	2x1	+7x2	+3x3	+ x4 = 6;		190.
	3x1+5x2+2x3+2x4 = 4;						4x1¡6x2+ 2x3+ 3x4 = 2;
	9x1+4x2+ x3+7x4 = 2:						2x1¡3x2¡11x3¡15x4 = 1:
191.	3x1	+ 4x2+ x3+ 2x4 =			3;	192. 3x1¡5x2+2x3+4x4 = 2;
	6x1+ 8x2+2x3+ 5x4 = 7;						7x1¡4x2+ x3+3x4 = 5;
	9x1	+12x2+3x3+10x4 =			13:		5x1+7x2¡4x3¡6x4 = 3:
193.	2x1	+5x2	¡8x3	= 8;	194. 3x1¡2x2+5x3+4x4 = 2;
	4x1+3x2¡9x3 = 9;					6x1¡4x2+4x3+3x4 = 3;
	2x1+3x2¡5x3 = 7;					9x1¡6x2+3x3+2x4 = 4:
195.	x1+8x2¡7x3 = 12:					196. 9x1¡3x2+5x3+ 6x4 = 4;
	2x1¡ x2		+ 3x3¡ 7x4 =		5;
	6x1¡3x2+ x3¡ 4x4 = 7;						6x1¡2x2+3x3+ x4 = 5;
197.	4x1¡2x2		+14x3¡31x4 = 18:			198.	3x1¡ x2+3x3+14x4 = ¡8:
	3x1+2x2		+2x3+2x4 = 2;				x1+ x2+3x3¡2x4+3x5 = 1;
	2x1+3x2+2x3+5x4 = 3;						2x1+2x2+4x3¡ x4+3x5 = 2;
	9x1+ x2+4x3¡5x4 = 1;						3x1+3x2+5x3¡2x4+3x5 = 1;
	2x1+2x2+3x3+4x4 = 5;						2x1+2x2+8x3¡3x4+9x5 = 2:
	7x1+ x2+6x3¡ x4 = 7:

12

199.	2x1	¡ x2	+ x3	+2x4	+	3x5	= 2;	200.
	6x1¡3x2+2x3+4x4+ 5x5 = 3;
	6x1	¡3x2	+4x3	+8x4	+13x5		= 9;
201.	4x1¡2x2+ x3+ x4+ 2x5 = 1:							202.
	x1	+2x2	+3x3	¡2x4	+ x5 = 4;
	3x1+6x2+5x3¡4x4+3x5 = 5;

x1+2x2+7x3¡4x4+ x5 = 11; 2x1+4x2+2x3¡3x4+3x5 = 6:

6x1+4x2+5x3+2x4+3x5 = 1; 3x1+2x2+4x3+ x4+2x5 = 3; 3x1+2x2¡2x3+ x4 = ¡7; 9x1+6x2+ x3+3x4+2x5 = 2:

6x1+3x2+2x3+3x4+4x5 = 5; 4x1+2x2+ x3+2x4+3x5 = 4; 4x1+2x2+3x3+2x4+ x5 = 0; 2x1+ x2+7x3+3x4+2x5 = 1:

203.	8x1	+6x2	+5x3	+2x4	= 21;	204.
	3x1+3x2+2x3+ x4 = 10;
	4x1+2x2+3x3+ x4 = 8;
	3x1+5x2+ x3+ x4 = 15;
	7x1+4x2+5x3+2x4 = 18:
205.	x1	+2x2	+3x3+ x4		= 3;	206.

x1+4x2+5x3+2x4 = 2; 2x1+9x2+8x3+3x4 = 7; 3x1+7x2+7x3+2x4 = 12; 5x1+7x2+9x3+2x4 = 20:

2x1+ 3x2+ x3+2x4 = 4; 4x1+ 3x2+ x3+ x4 = 5; 5x1+11x2+3x3+2x4 = 2; 2x1+ 5x2+ x3+ x4 = 1; x1¡ 7x2¡ x3+2x4 = 7:

12x1+14x2¡15x3+23x4+27x5 = 5; 16x1+18x2¡22x3+29x4+37x5 = 8; 18x1+20x2¡21x3+32x4+41x5 = 9; 10x1+12x2¡16x3+20x4+23x5 = 4:

207. 10x1+23x2+17x3+	44x4	= 25;	208.
15x1+35x2+26x3+	69x4	= 40;
25x1+57x2+42x3+108x4		= 65;
30x1+69x2+51x3+133x4		= 95:

209.	12x2	¡16x3+25x4	= 29;	210.
27x1	+24x2	¡32x3+47x4	= 55;
50x1	+51x2	¡68x3+95x4	= 115;
31x1	+21x2	¡28x3+46x4	= 50:

45x1¡28x2+34x3+52x4 = 9; 36x1¡23x2+29x3¡43x4 = 3; 35x1¡21x2+28x3¡45x4 = 16; 47x1¡32x2+36x3¡48x4 = ¡17; 27x1¡19x2+22x3¡35x4 = 6:

24x1+14x2+30x3+40x4+ 41x5 = 28; 36x1+21x2+45x3+61x4+ 62x5 = 43; 48x1+28x2+60x3+82x4+ 83x5 = 58; 60x1+35x2+75x3+99x4+102x5 = 69:

Исследовать системы линейных уравнений и найти общее решение в зависимости от значений параметра ¸:

211.	5x1¡3x2+2x3+ 4x4 = 3;	212.
	4x1¡2x2+3x3+ 7x4 = 1;
	8x1¡6x2¡ x3¡ 5x4 = 9;
213.	7x1¡3x2+7x3+17x4 = ¸:	214.
	2x1+ 5x2+ x3+3x4 = 2;
	4x1+ 6x2+3x3+5x4 = 4;
	4x1+14x2+ x3+7x4 = 4;
215.	2x1¡ 3x2+3x3+¸x4 = 7:	216.
	2x1+ 3x2+ x3+2x4 = 3;
	4x1+ 6x2+3x3+4x4 = 5;
	6x1+ 9x2+5x3+6x4 = 7;
	8x1+12x2+7x3+¸x4 = 9:
217.	¸x1+ x2+ x3+ x4 = 1;	218.
	x1+¸x2+ x3+ x4 = 1;
	x1+ x2+¸x3+ x4 = 1;
	x1+ x2+ x3+¸x4 = 1:

3x1+2x2+5x3+ 4x4 = 3; 2x1+3x2+6x3+ 8x4 = 5; x1¡6x2¡9x3¡20x4 = ¡11; 4x1+ x2+4x3+ ¸x4 = 2:

2x1¡ x2+3x3+ 4x4 = 5; 4x1¡2x2+5x3+ 6x4 = 7; 6x1¡3x2+7x3+ 8x4 = 9; ¸x1¡4x2+9x3+10x4 = 11:

¸x1+ x2+ x3 = 1; x1+¸x2+ x3 = 1; x1+ x2+¸x3 = 1:

(1 + ¸)x1+		x2+		x3 = 1;
x1	+(1 + ¸)x2		+	x3	= ¸;
x1	+	x2	+(1 + ¸)x3		= ¸2:

13

219.	(¸ + 1)x1+	x2+	x3 = ¸2 + 3¸;
	x1+(¸ + 1)x2+		x3 = ¸3 + 3¸2;
	x1+	x2+(¸ + 1)x3 = ¸4 + 3¸3:
220.	(¸ + 3)x1+	x2+	2x3 = ¸;	221.	¸x1	+¸x2+ (¸ + 1)x3	= ¸;
	¸x1+(¸ ¡ 1)x2+		x3 = 2¸;		¸x1+¸x2+ (¸ ¡ 1)x3 = ¸;
	3(¸ + 1)x1+	¸x2+(¸ + 3)x3 = 5:			(¸ + 1)x1	+¸x2+(2¸ + 3)x3	= 1:

Исследовать системы линейных уравнений и найти общее решение в зависимости от
значений параметров, входящих в коэффициенты:
222.	x1+ x2+ x3 = 1;	223.	ax1+ x2+ x3 = 1;
	ax1+ bx2+ cx3 = d;		x1+bx2+ x3 = 1;
	a2x1+b2x2+c2x3 = d2:		x1+ x2+cx3 = 1:
224.	ax+ by+ z = 1;	225. ax+	y+z = 4;
	x+aby+ z = b;	x+ by+z = 3;
	x+ by+az = 1:	x+2by+z = 4:

7.	Метод Крамера
Следующие системы решить с помощью формул Крамера:
226.	2x1	+2x2	¡ x3+ x4 =	4;	227.	2x1+3x2+11x3+5x4 =	2;
	4x1+3x2¡ x3+2x4 = 6;					x1+ x2+ 5x3+2x4 = 1;
	8x1+5x2¡3x3+4x4 = 12;					2x1+ x2+ 3x3+2x4 = ¡3;
	3x1+3x2¡2x3+2x4 = 6:					x1+ x2+ 3x3+4x4 = ¡3:
228.	2x1	+ 5x2+4x3+ x4 = 20;			229. 3x1+4x2+ x3+2x4 = ¡3;
	x1+ 3x2+2x3+ x4 = 11;					3x1+5x2+3x3+5x4 = ¡6;
	2x1	+10x2+9x3+7x4 = 40;				6x1+8x2+ x3+5x4 = ¡8;
230.	3x1+ 8x2+9x3+2x4 = 37:				231.	3x1+5x2+3x3+7x4 = ¡8
	7x1+9x2		+4x3+2x4 = 2;			6x1+5x2¡2x3+4x4 = ¡4;
	2x1¡2x2+ x3+ x4 = 6;					9x1¡ x2+4x3¡ x4 = 13;
	5x1+6x2+3x3+2x4 = 3;					3x1+4x2+2x3¡2x4 = 1;
	2x1+3x2+ x3+ x4 = 0:					3x1¡9x2+ 2x4 = 11:
232.	2x1	¡ x2¡6x3+ 3x4 = ¡1;			233. 2x1+ x2+4x3+8x4 = ¡1;
	7x1¡4x2+2x3¡15x4 = ¡32;					x1+3x2¡6x3+2x4 = 3;
	x1¡2x2¡4x3+ 9x4 = 5;					3x1¡2x2+2x3¡2x4 = 8;
	x1¡ x2+2x3¡ 6x4 = ¡8:					2x1¡ x2+ 2x3	= 4:

234. 2x1	¡ x2	+3x3	= 9;	235. 2x1	¡5x2	+3x3	+ x4	= 5;
3x1¡5x2+ x3 = ¡4;				3x1¡7x2+3x3¡ x4 = ¡1;
4x1¡7x2+ x3 = 5:				5x1¡9x2+6x3+4x4 = 7;
				4x1¡6x2+3x3+ x4 = 8:

8. Фундаментальная система решений

Найти общее решение и фундаментальную систему решений для систем уравнений:
236. x1	+2x2	+ 4x3¡ 3x4	= 0;	237. 2x1¡4x2+ 5x3+ 3x4	= 0;
3x1+5x2+ 6x3¡ 4x4 = 0;				3x1¡6x2+ 4x3+ 2x4 = 0;
4x1	+5x2	¡ 2x3+ 3x4	= 0;	4x1¡8x2+17x3+11x4	= 0:
3x1	+8x2	+24x3¡19x4	= 0:

14

238.	3x1+2x2	+ x3+3x4		+5x5	= 0;	239.
	6x1+4x2+3x3¡5x4+7x5 = 0;
	9x1+6x2+5x3+7x4+9x5 = 0;
	3x1+2x2+		4x4+8x5 = 0:
240.	6x1¡2x2+2x3+5x4+7x5 = 0;					241.

9x1¡3x2+4x3+8x4+9x5 = 0; 6x1¡2x2+6x3+7x4+ x5 = 0; 3x1¡ x2+4x3+4x4¡ x5 = 0:

3x1+5x2+2x3 = 0; 4x1+7x2+5x3 = 0; x1+ x2¡4x3 = 0;

2x1+9x2+6x3 = 0:

x1¡x3 = 0; x2¡x4 = 0;

¡x1+ x3¡ x5 = 0; ¡x2+ x4¡ x6 = 0; ¡x3+x5 = 0; ¡x4+x6 = 0:

242. x1¡x3+x5 =0;	243. 5x1+6x2¡2x3+7x4+4x5	= 0;
x2¡x4+x6 =0;	2x1+3x2¡ x3+4x4+2x5 = 0;
x1¡x2+x5¡ x6 = 0;	7x1+9x2¡3x3+5x4+6x5 = 0;
x2¡x3+x6 =0;	5x1+9x2¡3x3+ x4+6x5 = 0:
x1¡x4+x5 =0:

244. 3x1+ 4x2+ x3+2x4+3x5 = 0; 5x1+ 7x2+ x3+3x4+4x5 = 0; 4x1+ 5x2+2x3+ x4+5x5 = 0; 7x1+10x2+ x3+6x4+5x5 = 0:

ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

9. Определители второго и третьего порядков

Вычислить определители:
245.			5		.		246.		2		3		.	247.		2		1		.	248.			cos ®		¡ sin ®		.
		3
		5	8						1		4					¡1		2						sin ®		cos ®
249.		ab	ac				250.				sin ®			cos ®				251.				sin ®		sin ¯		252.				tg ®	¡1
		bd	cd			.					¡ cos ®			sin ®			.					cos ®		cos ¯		.				1	tg ®	.

253. sin ® + sin ¯	cos ¯ + cos ®
cos ¯ ¡ cos ®	sin ® ¡ sin ¯

pp

255.12 ++ p23 21 ¡¡ p32 . 256.

254. 2 sin ' cos ' 2 sin2 ' ¡ 1

.2 cos2 ' ¡ 1 2 sin ' cos ' .

1	lgb a	.	257.	a + b	b + d	.
lga b	1			a + c	c + d

258.	a + b a ¡ b	.	259.	x ¡3	1	2		1	.
	a ¡ b a + b			x	x		+ x + 1
Пользуясь определителями, решить системы уравнений:
260.	2x+5y = 1;		261.	2x+3y = 4;				262. 5x¡7y = 1;
	3x+7y = 2:			4x¡5y = 10:					x¡2y = 0:
263.	4x+7y + 13 = 0;		264.		x cos ®¡y sin ® = cos ¯;
	5x+8y + 14 = 0:				x sin ®+y cos ® = sin ¯:

15

Исследовать, будет ли система уравнений определена, неопределена или несовместна:

265. 3x¡2y = 2;	266. ax+4y = 2;	267. ax+by = ad;	268. ax¡9y = 6;
6x¡4y = 3:	9x+ay = 3:	bx+cy = bd:	10x¡by = 10:

269.	Доказать, что при действительных a, b, c корни уравнения
будут действительными.
Вычислить определители:
270.	1	2	3	.			271.	¡1			5	4		.	272.	0	2	2		.	273.
	5	1	4					3			¡2 0					2	0	2
	3	2	5					¡1			3	6				2	2	0
274.			1	1		.	275.			0	1	1		.	276.		1	1		.	277.
	1															1
	¡1		0	1						1	0	1				1	2	3
	¡1 ¡1 0									1	1	0				1	3	6

a ¡ x b = 0

bc ¡ x

1	2	3	.
4	5	6
7	8	9
a	b	c		.
b	c	a
c	a	b

278.

0

a

0

.

279.

a

a

a

.

280.

sin ®

cos ®

b

c

d

¡a

a

a

sin ¯

cos ¯

0

e

0

¡a

¡a

a

sin °

cos °

Пользуясь определителями, решить системы уравнений:

281.	2x + 3y + 5z = 2;			282. 5x ¡ 6y + 4z = 3;	283.
	3x + 7y + 4z = 3;			3x ¡ 3y + 2z = 2;
	x + 2y + 2z = 3:			4x ¡ 5y + 2z = 1:
284.	5x + 2y + 3z	+2	= 0;	285. 2ax ¡ 3by + cz = 0;
	2x ¡ 2y + 5z		= 0;	3ax ¡ 6by + 5cz= 2abc;
286.	3x + 4y + 2z+10		= 0:	5ax ¡ 4by + 2cz= 3abc;
	4bcx + acy ¡ 2abz = 0;
	5bcx + 3acy ¡ 4abz + abc = 0;
	3bcx + 2acy ¡ abz ¡ 4abc = 0; abc 6= 0:

1

11 .

4x ¡ 3y + 2z + 4 = 0; 6x ¡ 2y + 3z + 1 = 0; 5x ¡ 3y + 2z + 3 = 0:

abc =6 0:

Исследовать, будет ли система уравнений определена, неопределена или несовместна:

287.	2ax¡23y+29z = 4;	288. ax ¡ 3y+ 5z = 4;
	7x+ ay+ 4z = 7;	x ¡ ay+ 3z = 2;
	5x+ 2y+ az = 5:	9x ¡ 7y+8az = 0:
289.	ax + 4y + z = 0;	290. ax + 2z = 2;
	2y + 3z ¡ 1 = 0;	5x + 2y = 1;
	3x ¡ by + 2 = 0:	x ¡ 2y + bz = 3:

291. Прямым вычислением по правилу треугольников доказать следующие свойства определителя третьего порядка:

(i) определитель не изменяется при транспонировании;

(ii) при перестановке двух строк (столбцов) определитель изменяет знак;

(iii) при умножении какой-нибудь строки (столбца) на одно и то же число определитель умножается на это число;

(iv) если каждый элемент некоторой строки определителя представлен в виде двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме данной, прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором вторые (то же верно для столбцов);

16

(v) определитель равен нулю, если какая-нибудь строка равна нулю или имеется две одинаковых или пропорциональных строки (то же верно для столбцов);

(vi) если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится (то же верно для столбцов);

Пользуясь свойствами определителей из предыдущей задачи, вычислить следующие

определители:

292.

sin2 ®

1

cos2 ®

.

293.

sin2 ®

cos 2®

cos2 ®

.

sin2 ¯

1

cos2 ¯

sin2 ¯

cos 2¯

cos2 ¯

sin2 °

1

cos2 °

sin2 °

cos 2°

cos2 °

294.

x

u

ax + bu

.

295.

a + b

c

1

.

296.

sin ®

cos ®

sin(® + ±)

.

y

v

ay + bv

b + c

a

1

sin ¯

cos ¯

sin(¯ + ±)

z

w

az + bw

c + a

b

1

sin °

cos °

sin(° + ±)

Íå

развертывая определителей,

доказать

следующие тождества:

297.

a1

b1

a1x + b1y + c1

a1

b1

c1

.

a2 b2 a2x + b2y + c2

=

a2

b2 c2

a3 b3 a3x + b3y + c3

a3

b3 c3

298.	a1 + b1x a1 ¡ b1x	c1	= ¡2x	a1	b1	c1
	a2 + b2x a2 ¡ b2x c2			a2	b2 c2
299.	a3 + b3x a3 ¡ b3x c3			a3	b3 c3
	a1 + b1x a1x + b1	c1	= (1 ¡ x2)		a1	b1
	a2 + b2x a2x + b2	c2			a2	b2
	a3 + b3x a3x + b3	c3			a3	b3

300.	1	a bc		= (b ¡ a)(c ¡ a)(c ¡ b).	301.
	1	b	ca
	1	c	ab

.

c1

c2 . c3

1	a a2
		2	= (b ¡ a)(c ¡ a)(c ¡ b).
1	b	b2
1	c	c

302.	1	1	1
	a3	b3	c3	= (a + b + c)(b ¡ a)(c ¡ a)(c ¡ b).
	a	b	c
303.		1	1
	1
	2	2	2	= (ab + bc + ca)(b ¡ a)(c ¡ a)(c ¡ b).
	a3	b3	c3
	a	b	c

10. Перестановки

304. Выписать транспозиции, посредством которых от перестановки (1; 2; 3; 4; 5) можно перейти к перестановке (2; 5; 4; 3; 1).

Определить число инверсий в перестановках и определить их четность:

305. (2; 3; 5; 4; 1). 306. (6; 3; 1; 2; 5; 4). 307. (1; 9; 6; 3; 2; 5; 4; 7; 8).

308. (7; 5; 6; 4; 1; 3; 2). 309. (1; 3; 4; 7; 8; 2; 6; 9; 5). 310. (2; 1; 7; 9; 8; 6; 3; 5; 4).

311. Подобрать i è k так, чтобы:

а) перестановка (1; 2; 7; 4; i; 5; 6; k; 9) была четной, б) перестановка (1; i; 2; 5; k; 4; 8; 9; 7) была нечетной.

17

Определить число инверсий и четность перестановок в зависимости от n:

312. (n; n ¡ 1; : : : ; 2; 1).

313. (1; 3; 5; : : : ; 2n ¡ 1; 2; 4; 6; : : : ; 2n). 314. (2; 4; 6; : : : ; 2n; 1; 3; 5; : : : ; 2n ¡ 1).

315. (1; 4; 7; : : : ; 3n ¡ 2; 2; 5; 8; : : : ; 3n ¡ 1; 3; 6; 9; : : : ; 3n). 316. (3; 6; 9; : : : ; 3n; 2; 5; 8; : : : ; 3n ¡ 1; 1; 4; 7; : : : ; 3n ¡ 2). 317. (2; 5; 8; : : : ; 3n ¡ 1; 3; 6; 9; : : : ; 3n; 1; 4; 7; : : : ; 3n ¡ 2). 318. (2; 5; 8; : : : ; 3n ¡ 1; 1; 4; 7; : : : ; 3n ¡ 2; 3; 6; 9; : : : ; 3n).

319. (1; 5; : : : ; 4n ¡ 3; 2; 6; : : : ; 4n ¡ 2; 3; 7; : : : ; 4n ¡ 1; 4; 8; : : : ; 4n). 320. (1; 5; : : : ; 4n ¡ 3; 3; 7; : : : ; 4n ¡ 1; 2; 6; : : : ; 4n ¡ 2; 4; 8; : : : ; 4n).

321.В перестановке (i1; i2; : : : ; in) имеется k инверсий. Сколько инверсий имеется в перестановке (in; in¡1; : : : ; i2; i1)?

322.В какой перестановке чисел (1; 2; : : : ; n) число инверсий наибольшее и чему оно

равно?

323. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на k-том месте перестановки? 324. Сколько инверсий образует число n, стоящее на k-том месте перестановки?

325. Чему равна сумма числа инверсий и числа порядков в любой перестановке чисел

1; 2; : : : ; n?

326.Для каких чисел n четность числа инверсий и числа порядков во всех перестановках чисел 1; 2; : : : ; n одинакова и для каких противоположна?

327.Сколько инверсий во всех перестановках n элементов вместе?

328.Доказать, что для любого целого k (0 6 k 6 Cn2) существует перестановка чисел

1; 2; : : : ; n, число инверсий которой равно k.

11. Определение определителя

Выяснить, входят ли и с каким знаком входят в определители соответствующих
порядков произведения:		330. a13a24a23a41a55.			331. a21a13a34a55a42.
329.	a43a21a35a12a54.
332.	a23a31a42a56a14a65.		333. a32a43a14a51a66a25.			334. a61a23a45a36a12a54.
335.	a27a36a51a74a25a43a62.		336. a33a16a72a27a55a61a44.
337.	a12a23a34 : : : an¡1;nakk, 1 6 k 6 n.			338. a12a23 : : : an¡1;nan;1.
339.	a12a21a34a43 : : : a2n¡1;2na2n;2n¡1.			340. a11a2;na3;n¡1 : : : an;2.

341.Выбрать значения i è k так, чтобы произведение a62ai5a33ak4a46a21 входило бы

âопределитель 6-го порядка со знаком минус.

342.Подобрать i è k так, чтобы произведение a47a63a1ia55a7ka24a31 входило в опре-

делитель 7-го порядка со знаком плюс.

343. Подобрать i è k так, чтобы произведение a1ia32a4ka25a53 входило в определитель

5-го порядка со знаком плюс.

344. Выписать все слагаемые, входящие в состав определителя 4-го порядка со знаком минус и содержащие множителем a23.

345. Найти члены определителя 4-го порядка, содержащие элемент a32 и входящие

в определитель со знаком плюс.

346. Выписать все слагаемые, входящие в определитель 5-го порядка и имеющие вид a14a23a3®3 a4®4 a5®5 . Что получится, если из суммы вынести a14a23 за скобки?

347. С каким знаком входит в определитель порядка n произведение элементов главной диагонали?

18

348. С каким знаком входит в определитель порядка n произведение элементов побочной диагонали?

Руководствуясь только определением, вычислить коэффициенты при x4 è x3 â îïðå-

делителях:	2x	x	1	2		350.		5x	1	2	3
349.
	1	x 1		¡1	.			x x 1			2	.
	3	2	x	1				1	2	x	3
	1	1	1	x				x	1	2	2x

Пользуясь только определением, вычислить определители:
351.	0	: : :	0	0	a1n		352.	a11	a12	a13	a14	a15
	0	: : :	0	a2;n¡1	a2n	.		a21 a22 a23 a24 a25					.
	0	: : : a3;n¡2 a3;n¡1			a3n			a31	a32	0	0	0
	¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢							a41	a42	0	0	0
	an1	: : :	an;n¡2	an;n¡1	ann			a51	a52	0	0	0

12.	Свойства определителя
Решить	уравнения:				354.		1		1		1	: : :	1
353.	1	x	x2	: : : xn
	1	a1	a12 : : : a1n				1	1	¡	x	1	: : :	1
	1	a2	2	n	= 0.		1				2 ¡ x : : :		1	= 0.
			a2	: : : a2					1
	¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 2¢ ¢ ¢ ¢ ¢n						¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
	1	an an : : : an					1		1		1	: : : n ¡ x
355.	Как изменится				определитель порядка n, если первый столбец переставить на

последнее место, а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их расположение? 356. Как изменится определитель порядка n, если его строки написать в обратном

порядке?

357. Определитель называется кососимметрическим, если элементы, симметрично лежащие относительно главной диагонали, отличаются знаком, то есть aik = ¡aki äëÿ

любых индексов i, k. Доказать, что кососимметрический определитель нечетного порядка n равен нулю.

358.	Как изменится определитель порядка n, если у всех его элементов изменить
знак на противоположный?
359.	Как изменится определитель, если каждый его элемент aik умножить на ci¡k,
ãäå c 6= 0?
360.	Числа 204, 527 и 255 делятся на 17. Доказать, что
				0	4
			2
			5	2	7
			2	5	5
делится на 17.
361.	Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся на 17. Доказать, что
			0	6	0	4
		2
		5	3	2	2	7
		2	5	7	5	5
		2	0	9	2	7
		0	0	2	8	9

19

делится на 17.

362. Придумать задачу, аналогичную двум предыдущим, для определителя 4-го порядка и с делителем, равным 19.

Вычислить определители, не развертывая их:

363.

x

y

z

1

364.

®2

(® + 1)2 (® + 2)2

(® + 3)2

y

z

x

1

.

¯2 (¯ + 1)2 (¯ + 2)2 (¯ + 3)2

.

z

x

y

1

°2 (° + 1)2 (° + 2)2 (° + 3)2

x + z x + y y + z

1

±2 (± + 1)2 (± + 2)2 (± + 3)2

2

2

2

Не развертывая определителей, доказать следующие тождества:

365.

b + c

c + a

a + b

a

b

c

.

b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1

= 2 ¢

a1 b1 c1

b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2

a2 b2 c2

366.

x

y

z

0

1

1

1

0

x

0

z

y

=

1

0

z2

y2

.

y

z

0

x

1

z

2

0

x

2

z

y

x

0

1 y2 x2

0

Вычислить определители:

367.

a1 + x

x

: : :

x

368.

a1 + x

a2

: : :

an

x

a2 + x : : :

x

.

a1

a2 + x : : :

an

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

.

x

x

: : : an + x

a1

a2

: : : an + x

369.

1 + x1y1 1 + x1y2

: : : 1 + x1yn

1 + x2y1 1 + x2y2 : : : 1 + x2yn

.

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

1 + xny1 1 + xny2 : : : 1 + xnyn

Вычислить определители, разлагая их по строке или столбцу, состоящему из пара-
метров:
370.	1	0	¡1	¡1		371.	2	1	1	x		372.	a 1	1	1
	0	¡1	¡1	1	.		1	2	1	y	.		b 0	1	1	.
	a	b	c	d			1	1	2	z			c 1	0	1
	¡1 ¡1		1	0			1	1	1	t			d 1	1	0

373.	2	¡3	4	1		374.	5	a	2	¡1
	4	¡2	3	2	.		4	b 4		¡3	.
	a	b	c	d			2	c	3	¡2
	3	¡1	4	3			4	d	5	¡4

Вычислить определители:
375.		a	3	0	5		376.		1	0	2	a		377.		x	a	b	0	c
		0	b 0		2	.			2	0	b 0		.			0	y 0 0			d	.
		1	2	c 3					3	c 4		5				0	e z 0			f
		0	0	0	d				d 0		0	0				g h k u l
																0	0	0	0	v

20