Алгебра и Геометрия / GeomAlgebra
.pdf1217. Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точ- ке (2; 0), соответствующая ему директриса имеет уравнение x = 6, зная, что линия
проходит через точку (¡4; 8).
1218. Написать уравнение линии второго порядка, центр которой находится в точке (1; 0), а одной из директрис служит прямая x = 2, зная, что линия проходит через точку
(5; 6).
1219. Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (1; 1) и асимптоту x + y = 0.
1220. Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (2; 0) и асимптоту x = 1.
1221. Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (1; 0), (0; 1)
и большая ось равна 2.
1222. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой имеют координаты (1; 0), (0; 1) и асимптоты параллельны осям координат.
54.Определение типа кривой второго порядка по ее общему уравнению
С помощью переноса начала системы координат установить тип кривой и найти ее |
||||||||||||||||||||
расположение относительно данной системы координат (нарисовать картинку): |
||||||||||||||||||||
1223. |
2 |
|
|
|
2 |
¡ 54x + 64y + 1 = 0. |
1224. |
|
|
2 |
¡ y |
2 |
|
|
. |
|||||
9x2 |
+ 16y |
|
|
|
2 |
|
4x2 |
|
¡ 16x ¡ 6y + 3 = 0 |
|||||||||||
1225. |
y |
12x |
¡ |
6y + 11 = 0. 1226. 25x |
|
+ 9y |
¡ |
100x + 54y |
¡ |
44 = 0. |
||||||||||
|
3 2 |
¡ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
1227. |
4x2 |
¡ y |
|
2¡ 16x + 6y + 23 = 0. |
1228. |
3x |
|
+ 12x + 16y ¡ 12 = 0. |
||||||||||||
1229. |
9x |
¡ 4y |
|
|
+ 36x ¡ 16y + 20 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определить тип кривой, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
систему координат: |
|
y2 |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
xy |
|
|
|
x |
|
y |
|
||||||||||||
1230. |
x2 |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
. 1231. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
52 |
+ 4 |
|
|
+ 8 |
|
2 |
|
¡ 32 ¡ 56 + 80 = 0 |
1233. x |
2 |
5 |
|
|
|
+ 12 |
|
2 |
¡ 22 ¡ 12 ¡ 19 = 0 |
|
|||||||||||||||||
1232. x |
|
xy |
|
|
y |
|
+ 4x |
¡ |
3y |
¡ |
7 = 0. |
|
¡2 |
5xy + 4y |
|
+ x + 2y |
¡ |
2 = 0. |
|
||||||||||||||||||
|
2¡ 4 |
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1235. |
|
|
¡ 4xy2+ 6y |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1234. |
4x2 |
¡ 12xy + 9y |
|
¡ 2x + 3y ¡ 2 = 0. |
|
2 |
|
9x |
|
|
+ 16x ¡ 8y ¡ 2 = 0. |
||||||||||||||||||||||||||
1236. |
8x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 1237. x |
|
¡ 2 |
xy |
|
y |
|
|
|
|
x |
¡ 6 |
y |
|
. |
|
||||||
1238. |
+ 6xy ¡ 26x2¡ 12y + 11 = 0 |
|
|
|
|
2 |
|
+ |
|
¡ 102 |
|
+ 25 = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
2x |
¡ 5xy + 12y ¡ x + 26y ¡ 10 = 0. |
1239. 4x |
|
¡ 4xy + y |
¡ 6x + 3y ¡ 4 = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ГЛАВА 14. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
55. Алгоритм Лагранжа
Найти нормальный вид над R, для следующих квадратичных форм:
1240. x21 +x22 +3x23 +4x1x2 +2x1x3 +2x2x3. 1241. x21 ¡2x22 +x23 +2x1x2 +4x1x3 +2x2x3. 1242. x21 ¡3x23 ¡2x1x2 +2x1x3 ¡6x2x3. 1243. x1x2 +x1x3 +x1x4 +x2x3 +x2x4 +x3x4. 1244. x21 + 2x22 + x24 + 4x1x2 + 4x1x3 + 2x1x4 + 2x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4.
Найти нормальный вид и невырожденную замену, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм:
1245. x21 + 5x22 ¡ 4x23 + 2x1x2 ¡ 4x1x3. 1246. 4x21 + x22 + x23 ¡ 4x1x2 + 4x1x3 ¡ 3x2x3.
61
1247. x1x2 + x1x3 + x2x3. 1248. 2x21 + 18x22 + 8x23 ¡ 12x1x2 + 8x1x3 ¡ 27x2x3. 1249. ¡12x21 ¡3x22 ¡12x23 + 12x1x2 ¡24x1x3 + 8x2x3. 1250. x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1. 1251. 3x21 + 2x22 ¡ x23 ¡ 2x24 + 2x1x2 ¡ 4x2x3 + 2x2x4.
Следующие квадратичные формы привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые:
1252. 2x21+3x22+4x23¡2x1x2+4x1x3¡3x2x3. 1253. 3x21¡2x22+2x23+4x1x2¡3x1x3¡x2x3.
1254. 12x21 + 2x22 + 3x24 ¡ x1x2 + x2x3 ¡ x3x4.
Для следующих квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразование, переводящее форму f в форму g (искомое преобразование определено не однознач-
íî):
1255.
1256.
1257.
f= 2x21 + 9x22 + 3x23 + 8x1x2 ¡ 4x1x3 ¡ 10x2x3;
g = 2y12 + 3y22 + 6y32 ¡ 4y1y2 ¡ 4y1y3 + 8y2y3:
f= 3x21 + 10x22 + 25x23 ¡ 12x1x2 ¡ 18x1x3 + 40x2x3; g = 5y12 + 6y22 + 12y1y2:
f= 5x21 + 5x22 + 2x23 + 8x1x2 + 6x1x3 + 6x2x3;
g = 4y12 + y22 + 9y32 ¡ 12y1y3:
Выяснить, какие из следующих форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел:
1258. f1 = x12 |
¡ |
x2x3; |
1259. f1 |
= x12 + 4x22 + x32 + 4x1x2 |
¡ |
2x1x3; |
|
||||||||
|
2 |
; |
f2 |
= y |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
4y2y3; |
|||
f2 = y1y2 |
y3 |
|
+ 2y2 |
¡2 |
y3 + 4y1y2 |
¡ |
2y1y3 |
¡ |
|||||||
|
|
¡ 2 |
: |
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
f3 = z1z2 + z3 |
f3 = ¡4z1 |
¡ z2 ¡ z3 ¡ 4z1z2 + 4z1z3 + 18z2z3: |
|||||||||||||
1260. Показать, что все квадратичные формы от n неизвестных можно разбить на
классы так, что две формы будут эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат к одному и тому же классу. Найти число этих классов в комплексной и в вещественной областях.
1261. Какими значениями ранга и сигнатуры характеризуются те классы вещественно эквивалентных квадратичных форм, для которых форма f эквивалентна форме ¡f.
56. Положительно определенные квадратичные формы
Найти все значения параметра ¸, при которых положительно определены следующие
квадратичные формы:
1262. 5x21 + x22 + ¸x23 + 4x1x2 ¡ 2x1x3 ¡ 2x2x3. 1263. 2x21 + x22 + 3x23 + 2¸x1x2 + 2x1x3. 1264. x21 + x22 + 5x23 + 2¸x1x2 ¡ 2x1x3 + 4x2x3.
1265. x21 + 4x22 + x23 + 2¸x1x2 + 10x1x3 + 6x2x3. 1266. 2x21 + 2x22 + x23 + 2¸x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3.
Найти все значения параметра ¸, при которых отрицательно определены следующие
квадратичные формы:
1267. ¡x21 + ¸x22 ¡x23 + 4x1x2 + 8x2x3. 1268. ¸x21 ¡2x22 ¡3x23 + 2x1x2 ¡2x1x3 + 2x2x3.
62
57. Приведение к главным осям
Найти ортогональную замену, приводящую следующие формы к каноническому виду |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(привести к главным осям), и написать этот канонический вид: |
|
|
|
x |
+4x |
|
x |
|
|
20x |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1269. |
x2 +5x2 +7x2 |
¡ |
4x |
x |
|
+4x |
|
x |
. |
|
1270. 11x2 |
+5x2 |
+2x2 |
+16x |
|
|
¡ |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
62 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
|
2 |
3 |
|
||||||||||||
1271. x |
|
+x |
|
|
+5x3 |
¡ |
6x1x2 |
¡ |
2x1x3 +2x2x3. |
|
|
1272. x1 |
+x2 |
+x3 |
+4x1x2 +4x1x3 +4x2x3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1273. |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
4x |
x |
|
|
|
|
4x |
x |
|
|
|
8x |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
17x |
|
+ 14x |
|
|
+ 14x |
|
¡ |
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1274. x |
2 |
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2¡ 5 |
22+ |
|
x |
|
|
+ 4x |
x |
|
+ 2x |
|
x |
|
+ 4x |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x1x3 |
|
6x2x4 + 2x3x4. |
|||||||||||||||||||
1275. 8x1 |
¡ |
7x2 + 8x3 |
+ 8x1x2 |
¡ |
2x1x3 + 8x2x3. 1276. 2x1x2 |
¡ |
¡ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1277. |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10x3x4. |
|
|
|
||||||||||||
5x1 |
+ 5x2 |
+ 5x3 |
|
+ 5x2x4 |
¡ |
10x1x2 + 2x1x3 + 6x1x4 + 6x2x3 + 2x2x4 |
¡ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
+ 8x1x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
1278. 3x1 |
¡ |
3x2 |
+ 4x3 |
¡ |
4x3x4 + x4. |
|
|
1279. x1 |
+ 2x1x2 + x2 |
¡ |
2x3 |
¡ |
4x3x4 |
¡ |
2x4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1280. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
4x2x4 + 4x3x4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9x1 |
+ 5x2 |
+ 5x3 |
|
+ 8x4 |
+ 8x2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1281. |
|
|
2 |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2¡ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4x1 |
|
4x1x2 + x2 |
+ 5x3 |
|
4x4 |
+ 12x4x5 + x5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1282. |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4x1 |
¡ |
|
4x2 |
¡ |
8x2x3 + 2x3 |
¡ |
5x4 |
+ 6x4x5 + 3x5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1283. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3x1 |
+ 8x1x2 ¡ 3x2 |
+ 4x3 |
¡ 6x3x4 ¡ 4x4 |
+ 4x5 |
+ 4x5x6 + x6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти канонический вид, к которому следующие формы приводятся ортогональным |
||
преобразованием, и выразить новые неизвестные через старые (искомое преобразование |
||
не однозначно): |
P |
P |
P |
||
n |
|
n |
1284. i=1 xi2 + i<j xixj: |
1285. i<j xixj: |
|
63