Алгебра и Геометрия / GeomAlgebra

378.		x	y	0 : : : 0			0			379.					a0		a1		a2	: : :	an¡1	an
		0 x y : : : 0 0												¡y1			x1		0 : : :		0	0
		0 0 x : : : 0 0							.						0 ¡y2 x2 : : :						0	0		.
		¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢												¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
		0 0 0 : : : x y												0		0			0 : : : xn¡1			0
		y 0 0 : : : 0 x												0		0			0 : : : ¡yn xn
380.		a0		¡1		0	0	: : :		0		0				381.			n!a0	(n ¡ 1)!a1			(n ¡ 2)!a2 : : : an
		a1		x ¡1			0	: : : 0				0							¡n		x		0		: : : 0		.
		a2		0		x ¡1 : : : 0						0			.				0	¡(n ¡ 1)				x	: : : 0
		¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢																	¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
		an¡1		0		0	0		: : : x ¡1										0		0		0			: : : x
		an		0		0	0	: : :		0		x
382.				2		3 : : :	n ¡ 1			n				383.			n		¡1		0	0	: : : 0		0
		1
		¡1		x 0 : : :				0		0							n ¡ 1			x ¡1		0	: : : 0		0
		0	¡1		x : : :			0		0	.						n ¡ 2			0	x ¡1 : : : 0				0	.
		¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢															¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
		0		0	0 : : :			x		0							2			0	0	0	: : : x ¡1
		0		0	0 : : :			¡1 x									1			0	0	0	: : : 0		x

13.		Числовые определители
Вычислить определители:
384.		1	1	1		1				385.						0		1	1 1				386.				2	¡5					1	2
		1	¡1	1		1			.							1 0 1 1					.						¡3			7 ¡1 4						.
		1	1	¡1		1										1 1 0 1											5 ¡9						2 7
		1	1	1		¡1										1 1 1 0											4 ¡6						1 2
387.		¡3	9		3	6					388.							3	¡3		¡5		8			389.						2	¡5				4 3
		¡5	8		2	7				.							¡3		2		4 ¡6			.								3 ¡4					7 5			.
		4 ¡5 ¡3 ¡2																2 ¡5 ¡7					5									4 ¡9					8 5
		7 ¡8 ¡4 ¡5															¡4		3		5 ¡6											¡3		2 ¡5 3
390.			¡3	¡2		¡5				391.																392.				3		¡5		2			¡4
		3														3 ¡5 ¡2 2
		2	5	4		6			.							¡4			7		4 4		.						¡3				4 ¡5				3		.
		5	5	8		7										4 ¡9 ¡3 7													¡5				7 ¡7				5
		4	4	5		6										2 ¡6 ¡3 2														8 ¡8				5 ¡6
393.			2	2	2					394.					7 6			3	7		395.					6 ¡5						8	4
		3
		9	¡8	5	10			.							3 5 7 2					.						9		7				5	2		.
		5	¡8	5	8										5 4 3 5											7		5				3	7
		6	¡5	4	7										5 6 5 4											¡4		8 ¡8 ¡3
396.		7	3	2	6					397.		1			2			3	4		5					398.		3				6	5	6			4
		8	¡9	4	9		.					2			3 7 10 13							.						5		9			7	8 6				.
		7	¡2	7	3							3			5 11 16 21													6		12			13	9 7
		5	¡3	3	4							2			¡7 7 7 2													4		6			6	5 4
												1			4			5	3		10							2				5	4	5			3

21

399.	35	59	71	52		400.	27	44	40	55		401.	24	11	13	17	19
	42	70	77	54	.		20	64	21	40	.		51	13	32	40	46	.
	43	68	72	52			13	¡20	¡13	24			61	11	14	50	56
	29	49	65	50			46	45	¡55	84			62	20	7	13	52
													80	24	45	57	70

402.	3=2	¡9=2	¡3=2	¡3				403.
	5=3 ¡8=3 ¡2=3			¡7=3			.
	4=3 ¡5=3		¡1	¡2=3
	7	¡8	¡4	¡5
404.		2	¡1=2	¡5		.		405.
	3=4
	1	¡2	3=2	8
	5=6 ¡4=3		4=3	14=3
	2=5 ¡4=5		1=2	12=5

1=3	¡5=2	2=5	3=2
3	¡12	21=5	15
2=3	¡9=2	4=5	5=2
¡1=7	2=7	¡1=7	3=7

p					p							p					p
		2					3							5					3
p					p							p					¡2p
		6				21							10								3
p					2p												p
	10						15					5							6
					2p							p					p
2								6					10					15

.

.

406.	3	1	1	1		407.	1	2	3	4		408.	1	1	1	1
	1	3	1	1	.		2	3	4	1	.		1	2	3	4	.
	1	1	3	1			3	4	1	2			1	4	9	16
	1	1	1	3			4	1	2	3			1	8	27	64

409.	1	2	3	4		410.	2	1	1	1	1		411.	5	6	0	0	0
	¡2	1	¡4	3	.		1	3	1	1	1	.		1	5	6	0	0	.
	3	¡4	¡1	2			1	1	4	1	1			0	1	5	6	0
	4	3	¡2	¡1			1	1	1	5	1			0	0	1	5	6
							1	1	1	1	6			0	0	0	1	5

14.Вычисление определителей приведением к треугольному виду

Приведением к треугольному виду вычислить следующие определители:

412.

1

2

3 : : : n

413.

1 n

n : : : n

¡1

0

3 : : : n

.

n 2 n : : : n

.

¡1 ¡2

0 : : : n

n n 3 : : : n

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

¡1 ¡2 ¡3 : : : 0

n n n : : : n

414.

2

0

0

: : :

0

415.

x1

a12

a13 : : : a1n

1

1

3

2

0

: : : 0

.

x1 x2 a23 : : : a2n

.

0

1

3

2

: : : 0

x1 x2

x3 : : : a3n

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

0

0

0

0

: : : 3

x1 x2

x3 : : : xn

416.

1

: : :

1

1

1

417.

1 2 3 : : :

n ¡ 2

n ¡ 1

n

a1

: : :

a1

a1 ¡ b1 a1

.

2 3 4 : : : n ¡ 1

n

n

.

a2

: : : a2 ¡ b2

a2

a2

3 4 5 : : :

n

n

n

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

an ¡ bn : : :

an

an

an

n n n : : :

n

n

n

22

418.					x2	x3				xn							419.
		1		x					: : :										1		1 : : :				1		¡n
		a11		1	x	x2			: : : xn¡1						.				1		1 : : : ¡n						1	.
		a21 a22			1	x : : : xn¡2													¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
		¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢																	1 ¡n : : :						1		1
		an1 an2 an3 an4 : : :								1									¡n		1 : : :				1		1
420.		n	1	1	: : :	1			421.					0		1	1	: : :	1		422.			3		2	2	: : : 2
		1	n 1 : : : 1					.						1		0	1	: : : 1		.				2	3		2	: : : 2	.
		1	1 n : : : 1											1		1	0	: : : 1						2	2		3	: : : 2
		¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢												¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢											¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
		1	1 1 : : : n											1		1	1	: : : 0						2	2		2	: : : 3
423.		a	b	: : :	b	b			424.					a0			a1	a2	: : :		an
		b a : : : b b					.							¡x			x	0 : : : 0				.
		¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢												0 ¡x x : : : 0
		b b : : : a b												¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
		b b : : : b a												0			0 0 : : : x

425.	1	a1	a2	: : :	an		426.	1	x1	x2 : : : xn¡1
	1	a1 + b1	a2	: : :	an	.		1	x x2 : : : xn¡1
	1	a1	a2 + b2 : : :		an			1	x1	x : : : xn¡1
	¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢								¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
	1	a1	a2	: : : an + bn				1	x1	x2	: : : x
								1	x1	x2	: : : xn¡1

xn xn

¢x¢n .

xn x

427.		1	2	2	: : :	2		428.			x	a1 a2			: : :		an¡1 1
		2	2 2 : : : 2				.				a1 x a2 : : : an¡1 1
		2	2 3 : : : 2								a1 a2 x : : : an¡1 1									.
		¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢									¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
		2	2 2 : : : n								a1 a2 a3 : : :							x	1
											a1 a2 a3 : : :							an	1
429.			x	a	a	: : :		a	a			430.			¡a1			a1	0		: : :	0		0
		¡a		x	a : : :			a a		.					0	¡a2			a2		: : :	0		0
		¡a ¡a			x : : :			a a							0		0		¡a3 : : :			0		0	.
		¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢													¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
		¡a ¡a ¡a : : : ¡a x													0		0		0 : : : ¡an an
															1		1		1		: : :	1		1
431.		a1 ¡a2			0 : : : 0					0					432.			0	1 1		: : :	1 1
		0		a2	¡a3 : : :			0		0								1	0 x : : : x x
		0		0	a3	: : :		0		0			.					1	x 0 : : : x x				.
		¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢																¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
		0		0	0 : : : an¡1					¡an								1	x x : : : 0 x
		1		1	1 : : :			1		1 + an								1	x x : : : x 0

23

ГЛАВА 5.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. РАНГ МАТРИЦЫ

15.	Линейная зависимость
433.	Найти линейную комбинацию 3a1 + 5a2 ¡ a3 строк a1 = (4; 1; 3; ¡2), a2 =
(1; 2; ¡3; 2), a3 = (16; 9; 1; ¡3).
434.	Найти вектор x из уравнений:

à) a1 + 2a2 + 3a3 + 4x = 0, ãäå a1 = (5; ¡8; ¡1; 2), a2 = (2; ¡1; 4; ¡3), a3 = (¡3; 2; ¡5; 4);

á) 3(a1¡x)+2(a2+x) = 5(a3+x), ãäå a1 = (2; 5; 1; 3), a2 = (10; 1; 5; 10), a3 = (4; 1; ¡1; 1).
Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми:
435.	a1 = (1; 2; 3);	436.	a1 = (4; ¡2; 6);	437. a1	= (2; ¡3; 1);
	a2 = (3; 6; 7):		a2 = (6; ¡3; 9):	a2 = (3; ¡1; 5);
			a1 = (4; ¡5; 2; 6);	a3	= (1; ¡4; 3):
438.	a1 = (5; 4; 3);	439.		440.	a1 = (1; 0; 0; 2; 5);
	a2 = (3; 3; 2);		a2 = (2; ¡2; 1; 3);		a2 = (0; 1; 0; 3; 4);
	a3 = (8; 1; 3):		a3 = (6; ¡3; 3; 9);		a3 = (0; 0; 1; 4; 7);
			a4 = (4; ¡1; 5; 6):		a4 = (2; ¡3; 4; 11; 12):

441.Из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определенных (одних и тех же для всех векторов) местах, сохраняя их порядок; полученную систему векторов будем называть укороченной для первой системы, а первую систему будем называть удлиненной для второй. Доказать, что

а) укороченная система любой линейно зависимой системы векторов линейно зависима;

б) удлиненная система любой линейно независимой системы векторов линейно независима.

442.Доказать, что если векторы a1, a2, a3 линейно зависимы и вектор a3 íå âû-

ражается линейно через векторы a1 è a2, òî a1 è a2 различаются между собой лишь

числовым множителем.

443. Если векторы a1; a2; : : : ; ak линейно независимы, а векторы a1; a2; : : : ; ak; b линейно зависимы, то вектор b линейно выражается через a1; a2; : : : ; ak. Доказать это.

444. Пусть система векторов a1; a2; a3; a4 линейно независима. Является ли линейно зависимой система векторов

b1 = 3a1 + 2a2 + a3 + a4; b2 = 2a1 + 5a2 + 3a3 + 2a4; b3 = 3a1 + 4a2 + 2a3 + 3a4?

445. Пусть система векторов a1; a2; a3; a4; a5 линейно независима. Является ли линейно зависимой система векторов

b1 = 3a1 + 4a2 ¡ 5a3 ¡ 2a4 + 4a5; b2 = 8a1 + 7a2 ¡ 2a3 + 5a4 ¡ 10a5; b3 = 2a1 ¡ a2 + 8a3 ¡ a4 + 2a5?

24

Пусть система векторов a1; a2; : : : ; ak линейно независима. Выяснить, являются ли

линейно зависимыми или линейно независимыми системы векторов:
446.	b1	= a1, b2 = a1 + a2, b3 = a1 + a2 + a3,	. . . , bk = a1 + a2 + : : : + ak.
447.	b1 = a1, b2 = a1 + 2a2, b3 = a1 + 2a2 + 3a3, . . . , bk = a1 + 2a2 + 3a3 + : : : + kak.
448.	b1	= a1 + a2, b2 = a2 + a3, b3 = a3 + a4,	. . . , bk¡1 = ak¡1 + ak, bk = ak + a1.
449.	b1	= a1 ¡ a2, b2 = a2 ¡ a3, b3 = a3 ¡ a4,	. . . , bk¡1 = ak¡1 ¡ ak, bk = ak ¡ a1.
450.	Даны векторы a1 = (0; 1; 0; 2; 0), a2		= (7; 4; 1; 8; 3), a3 = (0; 3; 0; 4; 0), a4 =
				5
(1; 9; 5; 7; 1), a5 = (0; 1; 0; 5; 0). Существуют ли числа cij такие, что векторы bi = cijaj,
				j=1
i = 1; 2; 3; 4; 5, линейно независимы?				P

Найти все значения ¸, при которых вектор b линейно выражается через векторы a1,

a2, a3:
451.	a1 = (2; 3; 5);	452.	a1 = (4; 4; 3);	453. a1 = (3; 4; 2);
	a2 = (3; 7; 8);		a2 = (7; 2; 1);	a2 = (6; 8; 7);
	a3 = (1; ¡6; 1);		a3 = (4; 1; 6);	a3 = (15; 20; 11);
454.	b = (7; ¡2; ¸):	455.	b = (5; 9; ¸):	b = (9; 12; ¸):
	a1 = (3; 2; 5);		a1 = (3; 2; 6);
	a2 = (2; 4; 7);		a2 = (5; 1; 3);
	a3 = (5; 6; ¸);		a3 = (7; 3; 9);
	b = (1; 3; 5):		b = (¸; 2; 5):

16.	Базисы
Найти все базисы системы векторов:
456.	a1 = (1; 2; 0; 0);	457. a1 = (4; ¡1; 3; ¡2);
	a2 = (1; 2; 3; 4);	a2 = (8; ¡2; 6; ¡4);
	a3 = (3; 6; 0; 0):	a3 = (3; ¡1; 4; ¡2);
		a4 = (6; ¡2; 8; ¡4):

458.	a1	= (1; 2; 3; 4);	459. a1	= (2; 1; ¡3; 1);	460. a1 = (3; 2; 3);
	a2 = (2; 3; 4; 5);		a2 = (4; 2; ¡6; 2);		a2 = (2; 3; 4);
	a3 = (3; 4; 5; 6);		a3 = (6; 3; ¡9; 3);		a3 = (3; 2; 3);
	a4 = (4; 5; 6; 7):		a4 = (1; 1; 1; 1):		a4 = (4; 3; 4);
					a5 = (1; 1; 1):
461.	В каком случае система векторов обладает единственным базисом?

Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить через этот базис остальные
векторы системы:			a1 = (2; ¡1; 3; 5);		a1 = (1; 2; 3; ¡4);
462.	a1 = (5; 2; ¡3; 1);	463.		464.
	a2 = (4; 1; ¡2; 3);		a2 = (4; ¡3; 1; 3);		a2 = (2; 3; ¡4; 1);
	a3 = (1; 1; ¡1; ¡2);		a3 = (3; ¡2; 3; 4);		a3 = (2; ¡5; 8; ¡3);
	a4 = (3; 4; ¡1; 2):		a4 = (4; ¡1; 15; 17);		a4 = (5; 26; ¡9; ¡12);
465.		466.	a5 = (7; ¡6; ¡7; 0):	467.	a5 = (3; ¡4; 1; 2):
	a1 = (2; 3; ¡4; ¡1);		a1 = (2; 2; 7; ¡1);		a1 = (3; 2; ¡5; 4);
	a2 = (1; ¡2; 1; 3);		a2 = (3; ¡1; 2; 4);		a2 = (3; ¡1; 3; ¡3);
	a3 = (5; ¡3; ¡1; 8);		a3 = (1; 1; 3; 1):		a3 = (3; 5; ¡13; 11):
	a4 = (3; 8; ¡9; ¡5):

25

468. a1	= (2; 1);	469. a1	= (2; 1; ¡3);	470. a1	= (2; 3; 5; ¡4; 1);
a2 = (3; 2);		a2 = (3; 1; ¡5);		a2 = (1; ¡1; 2; 3; 5);
a3 = (1; 1);		a3 = (4; 2; ¡1);		a3 = (3; 7; 8; ¡11; ¡3);
a4 = (2; 3):		a4 = (1; 0; ¡7):		a4 = (1; ¡1; 1; ¡2; 3):

471. a1	= (2; ¡1; 3; 4; ¡1);	472. a1	= (4; 3; ¡1; 1; ¡1);
a2 = (1; 2; ¡3; 1; 2);		a2 = (2; 1; ¡3; 2; ¡5);
a3 = (5; ¡5; 12; 11; ¡5);		a3 = (1; ¡3; 0; 1; ¡2);
a4 = (1; ¡3; 6; 3; ¡3):		a4 = (1; 5; 2; ¡2; 6):

473. Пусть векторы a1; a2; : : : ; ak линейно независимы. Найти все базисы системы векторов b1 = a1 ¡ a2, b2 = a2 ¡ a3, b3 = a3 ¡ a4, . . . , bk¡1 = ak¡1 ¡ ak, bk = ak ¡ a1.

17. Ранг матрицы

Найти ранг следующих матриц с помощью окаймления миноров и элементарных

	0	1	7	4	¡2		5	1.			475.			0		7	5		1	¡1		1.
преобразований:					¡1
474.		8	2	2			1							B		1	7		7		9	C
	@ ¡2 4 2 ¡1 3 A															1 1		¡3		¡5
														B								C
														@ ¡		4	2		1		3	A
476.	0	0 ¡7 1 ¡3 ¡5 1.										477.			0	1 ¡3 ¡5 0 ¡7 1.
	B	4	1	7	¡5			1	C						B	8	¡4		5		5				9		C
		2	5 3		¡1			3								3	¡1		3 2						5
	B				¡				C						B		¡										C
	@	3	4	5				2	A						@	7			1		4				1		A
478.	0	¡5 2 4			1 3 1						479.			0	32 14 3 2 1 1												480.		0	4 3 2 1 1
	B	¡6	4	8	¡1		6	C.						B	77	32		6	5	3	C.								B	1	1	1	1	C.
		2 4 8			7 6										5 2 0 1 0															5 1 1 1
	B	3 2 4						C						B							C								B					C
	B				¡5 3 C									B 4 1 0 0 1 C															B	1 1 3 1 C
	B	7	2	4	1		3	C						B	6		3	1	0	0	C								B	1	4	1	1	C
	@				¡			A						@							A								B	1 1 1 2				C
																													B					C
481.	0	3		1		1		2	1		1			482.			0	1 1 0 0 0 0										1	@					A
		0		2	¡1			1	¡2									0	1	1		0		0			0
	B	12		9		8	¡7		3		C.						B	0 0 0 1 1 0										C.
	B	12		5		8	¡5		1		C						B											C
	B										C						B 0 0 0 0 1 1 C
	B	4		3		2		1	1		C						B	0	0	1		1		0			0	C
	@ ¡ ¡ ¡										A						B	1 0 0 0 0 1										C
																	B											C
																	@											A
Найти ранг матриц при различных значениях параметра ¸:																									1.
483.	0	10 ¡19 ¡ ¸							10		1.				484.		0	3	17	7			1
	@	12			¡24			13 ¡ ¸ A									B	4 1		1 3					C
																	B								C
	0												1.				@	1	10	4		¸			A
485.		0		1 ¡ ¸			0				0				486.			0	2 ¡1				¡¸ 5 1.
	B	1 ¡ ¸			0		0		3		0	¸	C					@	1		¸		¡			1	2	A
		0			0		0
	B									¡			C
	@	0			0		2 ¡ ¸						A						1	10						6	1
											3

26

487. 0		1	2 ¡ ¸2	2	3	1.
	B	1	1	2	3	C
		2	3	1	9 ¸2
	B				¡	C
	@	2	3	1		A
					5
489.	B	¸	1 2	: : :	n ¡ 1	1	C.
		1	2 ¸ : : :		n ¡ 1 1
	0	1	¸ 2 : : :		n ¡ 1 1		1
	B	1¢ ¢2¢ ¢3¢ ¢: :¢:			¢ ¢ ¢¸¢ ¢ ¢1		C
	B						C
	B	1	2 3	: : :	n	1	C
	B						C
	B						C
	@						A

488. 0	¡	1	¡¸			3		2	1	1.
B		¸		1	¡	2		3	1	C
		3		2		1		¸	1
B					2		¡		n	C
@		2		3		¸		1		A
	0								1	1
490.		2	1		¸ : : : ¸n¡1
	B	1	¸		¸ : : : ¸					C.
		2 2		1 : : : ¸n¡2
	B	2¢ ¢2¢ ¢2¢ ¢ :¢: :¢ ¢ ¢1¢								C
	B									C
	B									C
	@									A

491.Доказать, что если ранг матрицы A не изменяется при добавлении к ней любого столбца матрицы B с тем же числом строк, то он не меняется при добавлении к A всех столбцов матрицы B.

492.Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов этих матриц.

493.Доказать, что ранг произведения матриц не превосходит ранга каждой матрицысомножителя.

494.Доказать, что ранг матрицы (AjB), полученной приписыванием к матрице A матрицы B, не превосходит суммы рангов матриц A è B.

495.Доказать, что всякую матрицу ранга r можно представить в виде суммы r

матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы меньшего числа таких матриц. 496. Доказать, что если ранг матрицы равен r, то минор, стоящий на пересечении

любых r линейно независимых строк и линейно независимых столбцов, отличен от 0.

ГЛАВА 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

18. Действия над комплексными числами

Вычислить выражения:

498. (2 + i)(3 + 7i) ¡ (1 + 2i)(5 + 3i):

497.

(2 + i)(3 ¡ i) + (2 + 3i)(3 + 4i):

499.

(4 + i)(5 + 3i)

¡

(3 + i)(3

¡

i):

500.

(5 + i)(7 ¡ 6i)

:

501.

(5 + i)(3 + 5i)

:

2i

3 + i

502.

(1 + 3i)(8 ¡ i)

: 503.

(2 + i)(4 + i)

:

504.

(3 ¡ 1)(1 ¡ 4i)

:

(2 + i)2

1 + i

2 ¡ i 5

505.

(2 + i)3 + (2 ¡ i)3:

506. (3 + i)3(3 ¡ i)3:

507.

(1 + i)

:

(1 ¡ i)3

1

p

3

1 + itg ®

a bi

508.

á

§

3

i!

:

509.

: 510.

+

:

2

2

1 ¡ itg ®

a ¡ bi

511.

(1 + 2i)2 ¡ (1 ¡ i)3

:

512.

(1 ¡ i)5 ¡ 1

:

513.

(1 + i)9

:

(3 + 2i)3 ¡ (2 + i)2

(1 + i)5 + 1

(1 ¡ i)7

Решить системы уравнений:
514. (1 + i)z1 + (1 ¡ i)z2= 1 + i;	515. iz1 + (1 + i)z2= 2 + 2i;
(1 ¡ i)z1 + (1 + i)z2= 1 + 3i:	2iz1 + (3 + 2i)z2= 5 + 3i:

27

516.	(1 ¡ i)z1 ¡ 3z2= ¡i;	517. 2z1 ¡ (2 + i)z2= ¡i;
	2z1 ¡ (3 + 3i)z2= 3 ¡ i:		(4 ¡ 2i)z1 ¡ 5z2= ¡1 ¡ 2i:
518.	(3 ¡ i)x + (4 + 2i)y= 2 + 6i;		519. (2 + i)x + (2 ¡ i)y= 6;
520.	(4 + 2i)x ¡ (2 + 3i)y= 5 + 4i:		(3 + 2i)x + (3 ¡ 2i)y= 8:
	x + yi ¡ 2z= 10;
	x ¡ y + 2iz= 20;
	ix + 3iy ¡ (1 + i)z= 30:
Найти вещественные числа x è y, удовлетворяющие уравнению:
521.	(2 + i)x + (1 + 2i)y = 1 ¡ 4i:		522. (3 + 2i)x + (1 + 3i)y = 4 ¡ 9i:

523.Найти все комплексные числа, сопряженные к а) своему квадрату, б) своему

êóáó.

524.Доказать, что определитель

z1	z¯1	a
z2	z¯2	b	;
z3	z¯3	c

ãäå z1, z2, z3 комплексные числа и a, b, c вещественные числа, является чисто мнимым числом.

Решить уравнения:

526. jzj ¡ z = 8 + 12i.

525.

jzj + z = 8 + 4i.

Вычислить:p

528. p

529.

p

530. p

531.

p

527.

p

2i:

¡8i:

p

3 ¡ 4i:

p

¡15 + 8i:

p

¡3 ¡ 4i:

532.

¡11 + 60i:

¡8 + 6i:

¡8 ¡ 6i:

539.

8 + 6i:

536.

p

+ p

1 ¡ ip

538.

p4

:

p4

2 ¡ ip

:

4 + i

4 ¡ i: 537. p

3

:

¡1

12

Решить уравнения:

542. z2 = 5 ¡ 12i:

540.

z2

= i:

541. z2 = 3 ¡ 4i:

543.

z2 ¡ (1 + i)z + 6 + 3i = 0:

544. z2 ¡ 5z + 4 + 10i = 0:

545.

z2

+ (2i ¡ 7)z + 13 ¡ i = 0:

546. z2 ¡ (2 + i)z + (¡1 + 7i) = 0:

547.

z2

¡ (3 ¡ 2i)z + (5 ¡ 5i) = 0:

548. (2 + i)z2 ¡ (5 ¡ i)z + (2 ¡ 2i) = 0:

19. Тригонометрическая форма комплексных чисел

Найти тригонометрическую форму чисел:

553. 1 + i.

554. 1 ¡ i.

549.

5. 550. i.

551. ¡2.

552. ¡3i.

555. 1 + ip

.

556. ¡1 + ip

.

557. 1 ¡ ip

.

558. p

+ i.

559. ¡p

+ i.

3

3

3

3

3

p

. 561. p

p

p

560.

.

562.

3

.

1 + i

563. 2 +

3 + i

3 .

¡ 3 ¡ i

p

3 ¡ i

1 + itg ®

564.

1 ¡ (2 +

.

565.

cos ® ¡ i sin ®

.

566.

.

567.

3)i

sin ® + i cos ®

1

¡

itg ®.

Упростить выражения:

(1 ¡ i

p

568.

cos ' + i sin '

3)(cos ' + i sin ')

cos à ¡ i sin à .

569. 2(1 ¡ i)(cos ' ¡ i sin ') .

28

Вычислить выражения:																														Ã1 + 2					! .
570.	(1 + i)1000.								571. (1 + ip3)150.												572. (p3 + i)30.								573.				+	2
																																3
																															p			i	24
		¡								Ã	1			+ i					!		.	576.			Ã	1 ¡ i			! .
			p								1 ¡ ip									12						p		+ i	30
574.					+ i)12.				575.									3									3
	(2			3																	! .
									578.
577.	Ã	1	1 ¡ i				!	.		Ã1 ¡				32¡
			+ ip			3		20						p						i	24

20.	Геометрия комплексных чисел
579. Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам 5, ¡2, ¡3i, §1, §ip					.
				3
580.	Найти комплексные числа, соответствующие:
а) вершинам квадрата с центром в начале координат, со сторонами длины 1, парал-
лельными осям координат;
б) вершинам правильного треугольника с центром в начале координат, стороной, па-
раллельной оси ординат, вершиной на отрицательной вещественной полуоси и радиусом
описанного круга, равным 1;
в) вершинам правильного шестиугольника с центром в точке 2 + ip3, стороной, па-
раллельной оси абсцисс, и радиусом описанного круга, равным 2.
581.	Как расположены на плоскости точки, соответствующие:

а) комплексным числам z1, z2, z3, для которых z1 + z2 + z3 = 0, jz1j = jz2j = jz3j =6 0;

б) комплексным числам z1, z2, z3, z4, для которых z1 + z2 + z3 + z4 = 0, jz1j = jz2j =

jz3j = jz4j 6= 0?

Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам z, удовлетворяющим условиям:

582.

jzj = 1.

583. jzj 6 2.

584. jz ¡ 1 ¡ ij < 1.

585. jz + 3 + 4ij 6 5.

586. 2 < z

< 3.

587. 1

z

2i

< 2.

588. 1

z+2+i

2.

589.

z ¡ 1

1.

6 j

j 6

¯z + 1

¯

6

590.

z

j j

<

z

i

.

6 j ¡

j

1.

j

¡

1

j

j

591.

Re z

j 6

592. 1 < Re iz < 0.

593. 1¯< Re z¯

< 2.

594.

¡ j

Re

j

.

¡

Re

.

¯

¯

j

Im

zj = 1

.

595.

j

Im

596.

jz ¡ 2j =

¯

¯

z +

zj < 1

z + 2

597.

jz ¡ 1j + jz + 1j = 3.

598. jz + 2j ¡ jz ¡ 2j = 3.

599. jz ¡ ij + jz + ij = 4.

600.

® < arg z < ¯, ãäå ¡¼ < ® < ¯ 6 ¼.

601. j arg zj <

¼

¼

6 .

602.

arg z =

¼

¼

< arg(z ¡ i) <

3 .

603. 3

2 .

1

1

604.

Im (z2 + z¯) = 2 ¡ Im z.

605. jz ¡ 1j = jz + 2j = jz ¡ ij.

606. Im µ

¶ < ¡

z

2.

607.

logp

jzj2 ¡ jzj + 1

< 2.

608. (1

¡

i)¯z = (1 + i)z.

609. Im

z ¡ 1 + i

= 0.

3

2 + z

j

z

¡

3i

610.

jz ¡ 1j

2

j

2

= 5

.

611.

1

1 .

612.

.

+ jz + 1j

log2 jz ¡ 2j > log

2

jzj

sin jzj > 0

1

1

1

1

613.

Im z2 > 2.

614. lg jz + ij 6 1.

615.

< Re µ

¶

+ Im µ

¶ <

4

z¯

z¯

2.

616.

Пусть комплексные числа z1, z2, z3 соответствуют вершинам параллелограмма

A1, A2, A3. Найти число, соответствующее вершине A4, противолежащей A2.

29

617.Найти комплексные числа, соответствующие противоположным вершинам квадрата, если двум другим вершинам соответствуют числа z è w.

618.Найти комплексные числа, соответствующие вершинам правильного n-уголь-

ника, если двум его соседним вершинам соответствуют числа z0 è z1.

	619.	Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным чис-
		1		+ ti
	ëàì z =				, ãäå t 2 R.
			1	¡ ti		z1	¡ z3
	620.	Указать геометрический смысл числа arg						, ãäå z1, z2, z3 различные
	комплексные числа.					z2	¡ z3
	621.	Доказать, что							, z2, z3 лежат на одной
	а) точки плоскости, соответствующие комплексным числам z1

прямой тогда и только тогда, когда существуют вещественные числа ¸1, ¸2, ¸3, íå âñå равные нулю, такие, что¸1z1 + ¸2z2 + ¸3z3 = 0; ¸1 + ¸2 + ¸3 = 0;

б) точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам z1, z2, z3, ëå-

z1 ¡ z3

жат на одной прямой тогда и только тогда, когда число z2 ¡ z3 является вещественным;

в) точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам z1, z2, z3, z4 è

не лежащие на одной прямой, лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда
их двойное отношение		z1	¡ z3	:	z1	¡ z4	является вещественным числом.
		z2	¡ z3		z2
						¡ z4
622.	Найти наименьшее значение jzj ïðè jz ¡ 2 + 2ij = 1.
623.	Найти максимальное значение jz ¡ 1 ¡ 4ij ïðè jz + 2 ¡ 10ij 6 1.
624.	Даны два комплексных числа z1 è z2 (z1 6= z2). Доказать, что два треуголь-

ника, вершины которых находятся в точках плоскости, соответствующих комплексным числам z1

1) 0, 1, z1 è 0, z1, z1z2; 2) 0, 1, z2 è 0, z1, z2 подобны.

625. Как изменяется arg z(z ¡ 1) , когда точка z описывает против часовой стрелки вокруг точки 0 окружность радиуса 2, начиная из точки z = 2?

626. Вычислить и изобразить на комплексной плоскости несколько первых членов
последовательности	µ1 + n		¶	.
		i		n

627. Концы отрезка заданы некоторыми комплексными числами z1 è z2. Найти ком-

плексное число, соответствующее
1)	середине отрезка;
2)	точке, делящей отрезок в отношении 1 : 4, считая от точки z1.
628.		Три последовательно взятые вершины параллелограмма находятся в точках
1) z1		= 0, z2 = 1, z3 = 1 + i; 2) z1, z2, z3, z1 6= z2 6= z3.
Найти комплексное число, соответствующее четвертой вершине.
629.		Центр квадрата находится в точке z0 = 1 + i , а одна из его вершин в точке

z1 = 1 ¡i. Найти комплексные числа, соответствующие остальным вершинам квадрата.

21. Корни n-ой степени из комплексных чисел

Записаòь в тригонометрическоé					форме элементû множества:
	p6 i		q512(1 ¡ ip3)		q8p2(1 ¡ i).
630.		.	631. 10		. 632. 8

30