§ 2. Сложное суждение

Сложное суждение — это такое, которое образуется из простых суждений с помощью логических связок (операций): конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Так, сложное суждение «На ступила осень, дни стали короче, и перелетные птицы отправились в теплые края» состоит из трех простых суждений, которые можно обозначить любыми буквами, например а, в, с (каждая из них символично представляет простое суждение в составе сложного как нерасчлененное целое). Оно выражается формулой:. Знак «» соответствует союзу «и». В математической логике «» обозначает конъюнкцию, а сложное суждение называется конъюнктивным.

Дизъюнктивными сложными суждениями являются: «Я отправляюсь путешествовать на юг поездом или полечу самолетом». Формула его , где«» обозначает строгую дизъюнкцию. Строгая потому, что мы не можем одновременно лететь на самолете и ехать на поезде, а значит либо то либо другое. Всегда одно из двух. Вариативность выбора дает нестрогая дизъюнкция. Пример: «Этот студент является шахматистом или велосипедистом» выражается формулой а в.Он может быть только шахматистом, не быть велосипедистом и наоборот, а может быть и тем и другим одновременно, высказывание неизменно. Условное суждение: «Если коровам улучшить корм, то увеличатся надои молока» выражается формулой а→в Конъюнкция (а в) истинна тогда, когда оба (или все) простые суждения истинны. Строгая дизъюнкция (а в)истинна тогда, когда только одно простое суждение истинно. Нестрогая дизъюнкция (а в)истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Импликация (а → в) истинна во всех случаях, кроме одного: когда а — истинно и в — ложно. Эквиваленция (а в)истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрицание (а)истины дает ложь, и наоборот. Если в формулу входят три переменные (n =3), то таблица истинности для этой формулы (включающая все возможные комбинации истинности или ложности ее переменных) будет состоять из 2³ = 8 строк; при п = 4 будет 2⁴ = 16 строк и т. д., при п переменных — 2ⁿ строк.

Тождественно-истинной формулой называется формула, которая при любых комбинациях значений для входящих в нее переменных принимает значение «истина». Тождественно-ложная формула та, которая соответственно принимает только значение «ложь». Выполнимая формула может принимать как значение «истина», так и значение «ложь». Приведем доказательство тождественной истинности формулы: . Алгоритм распределения значенийИ и Л для переменных (в частности, трех: а, в, с) может быть, напр., таким: в столбце для а сначала пишем 4 раза «истина» «(И)» и 4 раза «ложь» «(Л)»; в столбце для в сначала пишем 2 раза «И» и 2 раза «Л», затем повторяем и т. д.

а	в	с
И И И И Л Л Л Л	И И Л Л И И Л Л	И Л И Л И Л И Л	Л Л Л Л И И И И	Л Л И И Л Л И И	Л И Л И Л И Л И	И И И И И И Л Л	И И И И И Л И Л	Л И И И Л И И И	Л И И И Л Л Л Л	И И И И И И И И

Упражнение 7. Запишите в символическом виде, используя логические союзы, следующие высказывания: например: Человек по природе добр (а) и порядочен (в). ав.

- Проснувшись утром, я могу отправиться в университет или остаться дома, и даже если я решу пойти в университет, то я могу не дойти до него, так же как и, оставшись дома уйти куда-нибудь в течение дня, и, в крайнем случае, я могу вовсе не просыпаться. - Если я влюблен, то я могу перевернуть все и сделать невозможное.

Упражнение 8. Какая логическая связка выражена в следующих сложных суждениях?

1) Поутру в салазки Саша садилась, летела стрелой, полная счастья с горы ледяной (Н. Некрасов) 2) Если ты глуп, то всегда это показываешь и стараешься еще больше сосредоточить на себе внимание. 3) Сокрытие или пособничество преступникам равносильно преступлению и преследуется по закону. 4) Как определить доброту человека? Добр если вежлив, или если сделал что-то хорошее тебе, или если все его считают добрым.

Упражнение 9. Составьте таблицу истинности или ложности значения сложного высказывания, подберите языковой пример сложного высказывания соответствующих данным записанным в символическом виде

Упражнение 10. Приведите примеры суждений соответствующих конъюнктивной и дизъюнктивной нормальной форме.