ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА / Севастьянов П.В. Финансовая математика и модели инвестиций

Схема реализации соответствующей методики представлена на рис. 3.9.

f(X)				Доверительные
				интервалы

µ (Х)	Х
1
	α-уровни
0.5
0	Х

Рис. 3.9. Схема трансформации плотности вероятности f(X)

– исходного частотного распределения в функцию принадлежности (Х) числа нечеткому интервалу

Как видно из рис. 3.9, α-уровни являются, в сущности, четкими интервалами, соответствующимиопределенным заданным значениям функции принадлежности. Ясно, что точность

такой трансформации определяется числом используемых α-уровней, которое в практических задачах может выбираться исходя из геометрической сложности трансформируемого частотного распределения.

Данная методика трансформации частотных распределений в нечеткие интервалы позволяет сохранить количественную информацию о размерах и месторасположении на оси абсцисс доверительных интервалов, а также на качественном уровне сохранить информацию о частотах, которым после трансформации будут соответствовать значения функций принадлежности нечеткому интервалу на полученных в результате трансформации α-уровнях.

В общем случае нечетко-интервальная математика сводится к разложению нечетких интервалов на составляющие

81

α-уровни и дальнейшем оперировании с ними в рамках интервальной математики.

В большинстве практических приложений наиболее важно иметь информацию только о двух интервалах, соответствующих α-уровням: (х) = 0 – основание интервала и (х) = 1 – интервал наиболее возможных значений. Поэтому представляется целесообразным аппроксимация всех получаемых нечетких интервалов к трапецеидальной форме (рис. 3.8). Последняя весьма удобна на практике еще и тем, что однозначно описывается своими реперными точками (Х1, Х2, Х3, Х4). Ясно, что такое четырехреперное представление значительно уменьшает количество вычислений при выполнении арифметических операций и вследствие этого снижает неопределенность итоговых результатов, являющуюся следствием самой природы интервальной арифметики, характеризующейся неизбежным ростом ширины результирующих интервалов с увеличением числа промежуточных арифметических операций с интервальными числами.

3.6. Основы интервальной и нечетко-интервальной

математики

Понимание необходимости разработки эффективного математического аппарата для работы с неопределенностями, в том числе и субъективной природы, осознание недостатков теоретико-вероятностных методов привели к бурному развитию и формированию в последние 30 лет новых научных дисциплин: интервальной математики, теории нечетких множеств и теории возможностей, которые не отрицают, а обобщают традиционные представления (показано, что теория вероятностей является частным случаем теории возможностей, математической основой которой является теория нечетких множеств). В настоящее время становится ясным что, где,

вкаких ситуациях и в каких сочетаниях нужно использовать, и весь этот комплекс новых теорий и методов (включая теорию вероятностей) движется к естественному объединению

вобщую теорию анализа неопределенностей.

82

Основоположником теории нечетких множеств в современной трактовке является Л.А. Заде, заложивший ее основы

водной из своих статей в 1965 г. Отметим, что идея построения нечетких множеств появилась в связи с исследованием известного античного парадокса кучи в трудах Е.Бореля еще в 1959 г., т.е. за 15 лет до Л.А.Заде. Однако именно благодаря Л.А.Заде теория приобрела математически формализованный вид.

До появления аппарата теории нечетких множеств любая неопределенность, появляющаяся при решении практических задач, отождествлялась со случайностью. В то же время в повседневной жизни мы часто используем такие понятия, как большой, малый, хороший, простой, сложный, горячий и т.д., которые являются нечеткими, расплывчатыми, однако эта неопределенность не носит вероятностного характера. Теория нечетких множеств разработана для оперирования с такого рода объектами. Случайность всегда связана с неопределенностью, касающейся принадлежности некоторого объекта к вполне четкому множеству. Понятие же нечеткости относится к классам, в которых имеются различные градации степени принадлежности, промежуточные между полной принадлежностью и не принадлежностью объектов к данному классу. Иными словами, нечеткое множество есть класс объектов, в котором нет резкой границы между теми объектами, которые входят в этот класс, и теми, которые в него не входят.

Внастоящее время теория нечетких множеств широко применяется в решении технических проблем в системах управления автомобилем, бойлерами, химическими реакторами, холодильными агрегатами, вентиляторами и кондиционерами, печами для сжигания мусора и плавки стекла, агрегатами быстрой зарядки аккумуляторов, энергетическими системами, станками для обработки металла, нагревательными приборами, электрическими двигателями, процессами сварки, системами коммуникации, установками для очищения воды.

Расширяется использование теории нечетких множеств

вэкономике и управлении предприятиями. Об этом свидетельствует рост в этой области исследований числа журнальных публикаций, а также появление монографий обобщающего характера, специализированного международного жур-

83

нала «Fuzzy Economic Review», международной организации

«International Association for Fuzzy-Set Management and Economy».

Уже опубликовано много книг по теории нечетких множеств, разработано и внедряется множество готовых программ для упрощения работы при нечетком моделировании и управлении.

Ввиду многообразия подходов к формулировке основ теории нечетких множеств и особенно математических операций с нечеткими данными представляется весьма целесообразным кратко изложить основные положения подхода, наиболее часто используемого на практике.

Пусть Х = {х} – множество (конечное и бесконечное), которое будем называть универсальным множеством. Тогда нечеткое множество А в X есть совокупность упорядоченных

пар А= {х, A(x)}, где A(x) – степень принадлежности х к A;

A(x):Х→ [0,1].

Если справедливо sup A( x ) = 1, то нечеткое множество

x X

называется нормальным. Функция принадлежности A(x) яв-

ляется обобщением понятия характеристической функции обычного множества, поскольку переходит в нее в предельном случае, когда содержит лишь две точки 0 и 1, т.е. когда множество четкое. В дальнейшем будем использовать запись

А= { A(x)/xi}, если X конечно, и А= ∫ A(x)/x, если X имеет

мощность континуума.

Важное практическое и методологическое значение имеет вопрос об определении A(x). Можно использовать, по сути дела, частотное определение функции принадлежностиA(x)=mx/nx, где nx – число опытов. При отсутствии статистики A(x) предлагается оценивать как распределение субъективной вероятности. Для аксиоматизации построения нечетких множеств используется теория полумножеств, бесконечнозначная логика Лукасевича. Предлагается также определять функцию принадлежности по множеству ее уровней. Для определения функции принадлежности предложены итерационный алгоритм согласования экспертных оценок, метод семантической дифференциации.

84

Следует подчеркнуть, что во всех упомянутых подходах явно или неявно полагается, что сами функции принадлежности или информация для их построения задаются экспертами на основе субъективных предпочтений, т.е., вообще говоря, не носят случайного характера.

В настоящее время нет единого мнения о том, как определять операции пересечения и объединения нечетких множеств. Обычно сначала постулируются желаемые свойства операций, а затем должно быть показано, является ли то или иное определение подходящим. Например, для операций, предложенных впервые Л. А. Заде, аксиоматизируются следующие свойства: 1) пересечение двух нечетких множества А

иВ есть наибольшее нечеткое множество, содержащееся и в А

ив В одновременно; 2) объединение А и В есть наименьшее нечеткое множество, содержащее хотя бы одно из нечетких множеств А или В. Единственными операциями, удовлетворяющими данным аксиомам, являются:

	С(x)= min(	A(x),	B(x)), (С=А ∩ B),	(3.11)
	D(x)=sup (	A(x),	B(x)), (D=A В).	(3.12)

Рональд Егер предложил для пересечения нечетких множеств выражение:

C(x)p = 1 – min [1, [(1- A(x))p +(1 — B(x))]p]1/p ,		(3.13)
для объединения:
B(x)p = 1 – min [1, [ A(x))p +	B(x))]p]1/p , p≥ 1.	(3.14)
Введенные операции при р →	∞ переходят в формулы

(3.13), (3.14), при p=1 получаем операции типа ограниченная разность и ограниченная сумма, которые иногда используются для задач, в которых трудно получить точное решение. Отметим, что операции (3.13), (3.14) идемпотентны лишь при р → ∞ . Рассмотренные операции носят «жесткий» характер, т.е. при

85

пересечении отсутствует возможность компенсации имеющихся значений A(x) какими-либо значениями B(x) и наоборот. Допуская существование задач, в которых требуется компенсация, Л.А.Заде и Р.Беллман предложили более «мягкие» определения операций пересечения и объединения:

C(x) = A(x) · B(x), D(x) = A(x) + B(x) — C(x).

(3.15)

Большинство исследователей отмечают, что как с практической, так и с математической точки зрения «жесткие» операции (3.13), (3.14) предпочтительнее «мягких» (3.15), за исключением возможных ситуаций, когда операция взятия минимума не передает требуемого смысла союза «и», обычно связываемого с пересечением. К тому же «мягкие» операции не дистрибутивны по отношению друг к другу и не обладают свойством идемпотентности. Тем не менее, на практике используют как «жесткие», так и «мягкие» операции.

В работах Р.Егера доказано, что только «жесткие» операции позволяют сохранять информацию качественного характера независимо от конкретных численных значений функций принадлежности, что является существенным доводом в пользу их использования на практике. Следует отметить, что при решении практических задач с применением элементов теории нечетких множеств в большинстве случаев используются «жесткие» операции. Тем не менее, ввиду отсутствия однозначных указаний теории необходимо обосновывать применение того или иного типа операций для каждого нового класса задач. Остальные алгебраические операции над нечеткими множествами заданы однозначно.

Дополнением нечеткого множества А в X называется нечеткое множество А с функцией принадлежности вида

				( x ) = 1−	A	( x ), x X .
		A

Разность множеств А и В в X определяется как нечеткое множество А\В с функцией принадлежности вида

86

µ

A

( x ) − µ

B

( x ),

( µ

A

( x ) ≥ µ

B

( x )),

µ

( x ) =

A\ B

( µ

( x ) < µ

( x )).

0,

A

B

Множеством уровня α нечеткого множества А в X называется множество в обычном смысле, составленное из элементов x X , степени принадлежности которых нечеткому множеству А не меньше числа α. Если Aα множество уровня α нечеткого множества А, то

Aα = {x		x X ,µ A( x ) ≥ α}	(3.16)

Во многих случаях удобно пользоваться разложением нечеткого множества по его множествам уровня

A = !αAα .	(3.17)
α

Нечеткое отношение R на прямом произведении пространств X Y={(x, у), x X, y Y} есть расплывчатое множество в X Y, характеризуемое функцией принадлежности µ , которая сопоставляет каждой упорядоченной паре (х, у) Rее степень принадлежности к R.

В общем случае n-е нечеткое множество на декартовом произведении X=X1,X2,…,Xn есть множество в X с функцией принадлежности µ R(x1,…,xn), xi Xi, i=1,…,n.

Нечеткие множества, порождаемые отображениями, определяются следующим образом. Пусть f: X→ Y – отображение из X в Y, причем образ элемента х обозначается через y=f(x), и пусть A – нечеткое множество в X. Тогда отображение f порождает нечеткое множество В в Y с функцией принадлежности, задаваемой соотношением

µ B ( y ) = sup	µ A( x ).	(3.18)
x f − 1( y )

Расплывчатое множество В(х) в пространстве Y={у} называется условным по х, если его функция принадлежности зависит от х как от параметра, что выражается записью µ B(y/x).

87

Пусть каждому x X соответствует расплывчатое множество В(х) в Y с функцией принадлежности B(y/x). Тогда любое расплывчатое множество А в X порождает расплывчатое множество В в Y, определяемое соотношением

B ( y ) = sup min[ A ( x ), B ( y / x )] .	(3.19)
x X

Для упрощения записи операции sup и min обычно обозначают, как и соответственно. Тогда последнее выражение примет вид

B ( y ) = x [ A ( x ) B ( y / x )]

(3.20)

Отметим, что соотношение (3.20) аналогично, но не эквивалентно маргинальному распределению вероятностей. Выражение (3.18) является одной из формулировок принципа обобщения, играющего важную роль в теории нечетких множеств. В задачах принятия решений чаще используют другую его интерпретацию. Пусть имеется отображение f: X→ Y и A = ∫ (x) / x – нечеткое множество на X. Тогда справедливо:

x

f ( A ) = ∫ ( x ) / f ( x ). x

Принцип обобщения позволяет расширить область определения отображения f на нечеткие подмножества универсального множества.

В зависимости от информированности и опыта лиц, принимающих решения (ЛПР), представления, которыми они пользуются при построении нечетких множеств, могут обладать различной степенью расплывчатости, в результате чего возникает вопрос о градациях нечеткости самих нечетких множеств. Формализация меры нечеткости имеет важное практическое и теоретическое значение.

Сформулируем общие требования к мерам нечеткости. Пусть A – нечеткое множество на X и d(A) – мера нечетко-

сти А. Тогда должны выполняться следующие требования: 1) d(A)=0, если А четкое множество;

88

2) d(A) достигает максимума при А( X ) = 1							для всех x X;
						2
	A*	( x ) ≥	A	( x ),	A	( x ) > 1 ,
							2
3) d(A) ≥ d(A*), если
	A* ( x ) ≤ A			( x ), A			1 .
						( x ) <
							2

Можно показать, что этим требованиям удовлетворяет мера, аналогичная мере количества энтропии Шеннона, если вместо вероятностей в ней использовать функции принадлежности.

Свойствам 1 3 удовлетворяет довольно широкий класс функций. Анализируя недостатки такого рода конструктивных подходов к построению мер нечеткости, Р. Егер ввел определение, вытекающее из формулировок операций над нечеткими множествами. Он исходил из того, что единственным коренным отличием алгебры нечетких множеств от обычной булевой алгебры является непустота пересечения A " А , т. е. для нечетких множеств

A "		= А "(1- А)= B ,	(3.21)
	А

где В – непустое множество.

Очевидно, что чем ближе А к А , тем больше В, и тем сильнее А и А отличаются от четкого множества. На основании этого Р. Егер представил меру четкости нечеткого множества А как

Dp ( A,A ) =	1		∑	n	A ( xi ) − A ( xi )	P 1 p ,	(3.22)
	n		i= 1

где р = 1, 2,...∞ — степень нечеткости. Отсюда выводится мера нечеткости

d p ( A,		) = 1 − Dp ( A,		) / n	1 p .	(3.23)
	A		A

89

Определение (3.23) удовлетворяет требованиям 1 3. Для изменения степени нечеткости введены специаль-

ные операции. Степенью нечеткого множества А называется множество Aε={ εA(xi)/xi}, где e – некоторое число. При ε = 2 получаем частный случай операции возведения в степень — так называемую операцию концентрации CON(A) = A2, а при ε = 0.5 – операцию растяжения DIL (А) = А1/2. Поскольку степень принадлежности – величина положительная, не превосходящая единицу, операция CON снижает степень нечеткости описания, в то время как DIL повышает.

Рассмотрение операции модифицирования нечеткости играет важную роль при формировании свертки частных критериев качества. Зачастую функции принадлежности нечетких множеств являются нечеткими множествами. Такая ситуация типична при их задании на лингвистическом уровне. Нечеткие множества с нечеткими функциями принадлежности называют нечеткими множествами типа 2.

Пусть А – нечеткое множество типа 2 на X, тогда для каждого x X функция принадлежности µ A(x) является нечетким множеством в Y с функцией принадлежности fx(y), т.е.

A( x ) = ∫f x ( y ) / y,

(3.24)

или для дискретного случая

		f	x	( y	i	)
A( x ) =							, i = 1,...,n.	(3.25)
				yi

Пользуясь принципом обобщения Л.А.Заде, можно построить нечеткие множества 3, 4, ..., N и т.д. типов. В случаях, когда одновременно присутствуют оба вида неопределенности (нечеткость и случайность), теория нечетких множеств хорошо сочетается с элементами теории вероятностей и математической статистики.

Рассмотрим важное для практики понятие математического ожидания функции при наличии обоих типов неопределенности.

Пусть A – нечеткое подмножество множества X={xi}, i=1,...,n, со степенью принадлежности µ A(x) и пусть Pi – ве-

90