4.7. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

61

x

xn+1

x

a

xn+1dx

∫xn arcctg a dx =

arcctg a

+

∫

(n ≠ −1) ;

n +1

n +1

x2 + a2

1

x

π

x

x3

x5

x7

∫x arcctg a dx =

2 ln

x

− a

+

−

+

+… =

3 3 a3

5 5 a5

7 7 a7

∞

−1 k+1 x2k+1

= π ln

x

+ ∑

(

)

(

x

<

a

);

(2k +

2

a

2k+1

2

k=0

1)

∫

1

x

1

x

1

x2 + a2

arcctg a dx = − x arcctg a +

ln

;

x2

2a

x2

∫

1

x

−1

x

a

∫

dx

arcctg a dx =

arcctg a

−

(n ≠ 1) .

x

n

n −1

x

n−1

n −1

n−1

2

2

(

x

(x

+ a )

)

4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.

∫sh ax dx = a1 ch ax;

∫ch ax dx = a1 sh ax;

∫ch2 ax dx = 21a sh axch ax + x2 ;

∫shn ax dx =

1

shn−1 axch ax

−

n −1

∫shn−2 ax dx

(n > 0),

an

n

=

1

shn+1 axch ax − n + 2 ∫shn+2 ax dx

(n < 0, n ≠ −1);

(

)

a

n +1

n −1

∫chn ax dx =

1

sh axchn−1 ax

+

n −1

∫chn−2 ax dx

(n > 0),

an

n

=

1

sh axchn+1 ax + n + 2 ∫chn+2 ax dx

(n < 0, n ≠ −1);

(

)

a

n +1

n +1

∫shdxax = a1 ln th ax2 ;

∫chdxax = a2 arctg eax ;

∫xsh ax dx = a1 xch ax − a12 sh ax ;

∫xch ax dx = a1 xsh ax − a12 ch ax ;

∫th ax dx = a1 ln ch ax ;

∫cth ax dx = a1 ln sh ax ;

∫th2 ax dx = x − thaax ;

62	III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
	∫cth2 ax dx = x −			cth ax		;
					a
	∫sh axsh bx dx =				1			(ash bxch ax − bch bxsh ax)	(a2	≠ b2) ;
			a2		− b2
	∫ch axch bx dx =				1			(ash axch bx − bsh bxch ax)	(a2	≠ b2) ;
				a2	− b2
	∫ch axsh bx dx =				1			(ash axsh bx − bch bxch ax)	(a2	≠ b2) ;
			a2		− b2

∫sh axsin ax dx = 21a (ch axsin ax − sh axcosax);

∫ch axsin ax dx = 21a (sh axsin ax − ch axcosax);

∫sh axcosax dx = 21a (ch axcosax + sh axsin ax);

∫ch axcosax dx = 21a (sh axcosax + ch axsin ax).