Конспекты. Blackboard / Тема 1. Вычислительный эксперимент и погрешности

Рассмотрим относительную погрешность суммы

положительных чисел.

Тогда

	n
	xi
i 1

n

n

n

n

xi

xi

xi xi

xi

i 1

i 1

i 1

i 1

n

n

n

n

xi

xi

xi

xi

i 1

i 1

i 1

i 1

где

max x

i

i

Вычитание положительных чисел

x x

2

x1 x2

x1

x2

1

x1 x2

x1 x2

Пусть

u x1

x2 ... xn .

, т.к.

ln u ln x1 ln x2

... ln xn

и

ln u

1

x

x

i

i

, то

x

n

1

x

n

x

i

i

i

i 1

xi

i 1

Пусть

x1

u

x2

, где

x 0, x

0, ln u ln x ln x

ln u

1

2, x

x

1

2

1

i

i

, тогда

x1

x2

x1

x1 x2

x1

x2

x2

Получен известный результат о сложении предельных относительных погрешностей при операциях умножения и деления приближенных чисел.

статистические законы формирования погрешностей результатов действий

при количестве слагаемых большем 10 и, если все слагаемые округлены до m-го десятичного разряда, то для подсчета абсолютной погрешности суммы S применяют

правило Чеботарева:

	S	3n	10 m
		2

Пример оценки погрешности среднего арифметического приближенных чисел

Пусть

		1	n
	x		xi , xi	0.5 10 m , n 10
		n i 1

Тогда

		1	n		1
	x		xi			n 0.5 10 m 0.5 10 m xi ,
		n i 1			n

По формуле Чеботарева

	x	1				3	0.5 10 m	3	x	0
				3n	0.5 10 m
		n				n		n	i	n

•принцип Крылова А.Н. :

приближенное число должно записываться так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными и лишь последняя была бы сомнительна, и, притом в среднем не более, чем на одну единицу.

•Определение.

Значащими цифрами числа в его позиционной записи называют все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.

•Определение.

Значащую цифру приближенного числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Правила работы с приближенными числами:

•при сложении и вычитании в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим количеством десятичных знаков;

•при умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр;

•результаты промежуточных вычислений должны иметь один - два запасных знака (которые затем должны быть отброшены).