Упругость газов.

Вотличие от капельных жидкостей газы подвержены силь­ному сжатию. Как известно, при изменении объема газа изменяет­ся его давление и температура. Для идеальных газов, к которым применены законы Бойля - Мариотта, зависимость между объе­мом и давлением определяется основным характеристическим уравнением - законом Менделеева - Клайперона:

где р - давление, V - объем, T - масса газа.

Состояние газов описываются законом Бойля - Мариотта (при постоянной температуре)

1. Гидродинамика.

1.1 Определение потока жидкости.

Основной задачей гидродинамики является изучение законо­мерностей, характеризующих поток жидкости. Различают сле­дующие виды движения: ламинарное движение, где частицы дви­жутся параллельно друг другу, т.е. слой относительно слоя (струйное движение), и турбулентное движение, где частицы имеют вихреобразное перемещение. При турбулентном движении частицы жидкости, кроме главного поступательного движения вдоль трубопровода, имеют и поперечное перемещение. Это соз­дает перемешивание жидкости, что оказывает существенное влия­ние на деформацию объема жидкости и влечет за собой увеличе­ние трения, т.е. гидравлического сопротивления в потоке.

1.2 Критерии подобия.

Помимо качественной картины движения жидкости необхо­димо еще иметь количественную оценку этого движения. В науч­ных исследованиях существует так называемый метод подобия. Изучая какой - либо процесс или явление при различных условиях (зачастую на уменьшенных моделях) определяют общие законо­мерности, характерные для всего процесса в целом. Делают это следующим образом. Определяется совокупность размерных ве­личин, характеризующих процесс. Так, для потока жидкости это будут: плотность , вязкость, скорость жидкостиV, геометриче­ский размер, характеризующий конфигурацию потока для трубо­провода - диаметр d. Два явления или процесс физически подоб­ны, если имеет место постоянство соотношения между величинами,

существенными для рассматриваемой проблемы (например, между силами, временами, скоростями и др.). Определение правил (законов) перехода от одного процесса к другому сводится к опре­делению таких безразмерных величин (критериев), которые в слу­чае физического подобия сохраняют одинаковые численные зна­чения для модели и образца. Эти критерии строятся как степенные комплексы (произведение степеней), составленные из масштабных значений отдельных размерных величин.

Существо задачи о законах моделирования может быть сфор­мировано следующим образом: как нужно комбинировать размерные величины друг с другом, чтобы получить безразмерные критерии. Безразмерные критерии исследуемой проблемы могут быть получены различными путями.

1. Определение безразмерных критериев из диффе-ренциалъных уравнений. Исследуемый процесс представ­ляется в виде математической зависимости - в общем слу­чае в виде дифференциальных уравнений.

Пример.

Пусть имеем стационарное течение двух различных жидко­стей с разными скоростями в двух трубопроводах разного диамет­ра. Жидкости считаем несжимаемыми. Течение обусловлено пере­падом давления на концах трубы. Поэтому массовые силы (силы тяжести) являются величинами следующего порядка малости. Фи­зические константы жидкости принимаем постоянными — в част­ности, не зависящие от температуры.

Для трубы 2 справедливы те же дифференциальные уравне­ния и краевые условия в том виде, в котором они получаются по­сле замены индекса 1 на 2. Численные значения величин, входя­щие в уравнения, различны. Чтобы процессы в трубах 1 и 2 были физически подобны, необходимо, чтобы соответствующие вели­чины с индексом 1 и 2 находились в постоянных отношениях.

Множители пропорциональности (масштабные множители) задаются посредством следующих уравнений:

Если рассматривать процессы в трубе 2 с учетом Х2 = f1 • X1 и т.д., то масштабные множители (постоянные величины) выйдут из-под знака дифференциала. В результате будем иметь:

Для совместимости обеих систем должны удовлетворяться следующие условия:

Из уравнения (1.3) получаем следующий безразмерный ком­плекс:

В науке такие характерные безразмерные комплексы назы­вают критериями по имени выдающихся ученых. В частности имеем критерий Рейнольдса (Rе).

Для трубопровода круглого сечения:

Критерий Рейнольдса характеризует собой отношения индиционных сил к силам трения:

Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что режим движения жидкости зависит от значения числа Rе.

Установлено, что для развитого движения при:

Rе < 2320 имеет место ламинарный режим

Rе > 2320 имеет место турбулентный режим

2. Анализ размерности. Этот метод для установления законов моделирования является более общим, т.к. при­меним, если не имеется возможности описать процесс дифференциальными уравнениями.

Суть метода:Определяется совокупность величин (вместе с их размерностями), которые в соответствии с нашими знаниями являются существенными для процесса. Так для движения жидко­сти в канале этими величинами будут:

Решение задачи следует делить в безразмерных переменных, при этом они должны представлять собой произведение степеней размерных величин, существенных для процесса.

Безразмерные переменные должны иметь следующую форму:

1, гдеS, М, К, X - неизвестные показатели степеней. Заменяем каждую величину соот­ветствующей размерностью:

Условием безразмерности всего выражения в целом является равенство нулю суммы показателей степени при каждом из симво­лов первичных величин. По числу первичных величин той систе­мы единиц, которая отвечает рассматриваемой проблеме, получа­ем три уравнения для определения четырех показателей:

1. - для длины (символ L) S + NХ = 0

2. - для времени (символ Т) N  X = О

3. - для массы (символ m) М + X = О

Число показателей, для которых значения могут быть выбра­ны произвольно, равно 4-3 = 1, т.е. будем иметь один критерий. Пусть это будет S, тогда все показатели от S до X будут опреде­ляться через S:

Решая систему относительно S:

(1.4)

Выражение (2) с учетом (3):

Примем S = 1, получим безразмерные сочетания величин

Это не что иное, как критерий Рейнольдса.