Тема 3
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ. СИЛА ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ НА ПЛОСКИЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.
Чтобы получить основное уравнение гидростатики выполним диф. уравнения равновесия жидкого тела, которые мы получили на прошлой лекции.
,…
И полученное из них выражение для определения гидростатического давления в любой точке плоскости.
Если жидкость находится в равновесии под действием собственного веса, то проекции ускорений вызванных силой тяжести для выбранных координатных осей Х=0, Y=0, Z= -g, где g-ускорение свободного падения.
Тогда подставляя эти значения в (3.1) получим
Или проинтегрировав
, или (3.2)
где С- постоянная интегрирования.
Для определения постоянной интегрирования рассмотрим находящийся в равновесии произвольный объем жидкости плотностью .На поверхности жидкости имеется давление p0, расстояние от плоскости сравнения XOY равно Z0.
Найдем зависимость для определения давления в произвольной точке, например А, имеющей отметку Z и находящуюся на глубине h над поверхностью жидкости.
Тогда .
Учитывая что , получим что для несжимаемой жидкости, находящейся в равновесии под действием силы тяжести полное гидростатическое давление в точке
, (3.3)
где - внешнее поверхностное давление, h-глубина погружения точки.
В формуле (3.3) величина илиназывается весовым давлением , поскольку она представляет собой ту часть полного гидростатического давления, которая обусловлена весом жидкости.
Таким образом абсолютное давление в точке равно сумме внешнего поверхностного давления и весового давления. Из формулы (3.3) также следует, что внешнее давление на поверхность жидкости находящейся в равновесии передается одинаково во все точки внутри жидкости(закон Паскаля).
Из уравнения (3.3) следует, что давление в жидкости зависит от глубины погружения и может измеряться в метрах столба жидкости
м вод. ст.
Так, например, 1кг/см2= 10,2 м вод. ст.=0,75 м рт. ст.
Из уравнения (3.3) также следует, что давление состоит из двух частей и поэтому принято разделять четыре вида давлений: абсолютное, атмосферное, избыточное и вакуум. Для измерения атмосферного давления применяют барометры, избыточного - манометры, вакуума - вакуумметры.
Относительное равновесие жидкости
Относительным равновесием жидкости называется такое состояние, при котором каждая ее частица сохраняет свое положение относительно твердой стенки движущегося сосуда. При относительном равновесии рассматриваются две задачи: характер распределения давления и форма поверхности уровня (равного давления). Решаем эти задачи опять же используя полученное нами на прошлой лекции уравнение для определения гидростатического давления
При р=const Xdx+Ydy+Zdz=0 (3.4)
В общем случае любое сложное движение сосуда с жидкостью можно представить в виде суммы трех движений: поступательного по вертикали и горизонтали и вращательного.
1) Движение по вертикали с постоянным ускорением а.
Проекции массовых сил на координатные оси будут: X=0, Y=0, Z=. Знак «-» соответствует равноускоренному подъему резервуара, «+»- спуску.
Характер распределения давления получим следующий
,
Или проинтегрировав
+С,
где С- постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий на свободной поверхности Z=Z0 и P=P0/
Тогда
Составим уравнение поверхности уровня
(
Если gа, то dz=0, z=const, т.е. поверхности равного давления представляют собой горизонтальные плоскости.
2) Горизонтальное перемещение резервуара с жидкостью с постоянным ускорением а.
В этом случае X=-a, Y=0, Z=-g.
Закон распределения давления получим
.
После интегрирования с учетом граничных условий X=X0, Z=Z0, P=P0 получим закон распределения давления в следующем виде
.
Т.о. распределение давления в жидкости подчиняется основному закону гидростатики для любой фиксированной вертикали.
Поверхность равного давления определится уравнением
После интегрирования
Или
Т.о. поверхностями равного давления будут плоскости, углы наклона которых к горизонтальной плоскости определяются угловым коэффициентом, равным –a/g.
3) Вращение цилиндрического сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью .
В этом случае проекции массовых сил: X= , Z= -g.
Поверхность равного давления определяется уравнением
Или проинтегрировав
Или учитывая, что получим
.
Откуда
Т.о. при вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхностями равного давления будет семейство параболоидов вращения, осью которых является ось Oz.
Закон распределения давления получим
Или
После интегрирования с учетом граничных условий r =0, z=z0, p=p0 получим закон распределения давления:
.
Это уравнение показывает, что распределение давления подчиняется линейному закону для любой фиксированной круглоцилиндрической поверхности.
Давление жидкости на плоские поверхности. Закон Архимеда.
Рассмотрим сначала простейший случай- давление жидкости на плоское дно
цилиндрического сосуда. Выделим в пределах площади дна элементарную площадку . Сила давления на эту площадку .
Равнодействующая сила давления определится интегралом
.
Это уравнение показывает, что независимо от формы сосуда, заполненного жидкостью, и формы его дна, сила гидростатического давления определяется высотой столба жидкости и площадью дна. Это давление получило название гидростатического парадокса.
Более сложным является случай, когда плоская площадка произвольно ориентирована в жидкости. В этом случае, сила полного гидростатического давления на поверхность равна произведению полного гидростатического давления в центре тяжести рассматриваемой площадки и площади самой площадки.
Рассмотрим три циркулирующих тела весом G1, G2 и G3 и сечением .Рассмотрим силы, действующие на эти тела со стороны жидкости. Например, второе тело. Силы действующие на боковые поверхности уравновешивающиеся, а на нижнюю и верхнюю площадки действуют разные силы, равнодействующая которых
где W-объем погруженного в жидкость тела.
Это уравнение известно как закон Архимеда : на всякое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости.
В сулучае тело плавает на поверхности; если -тело плавает вутри жидкости; если -тело тонет в жидкости.
Сила гидростатического давления на плоскую поверхность
Сила гидростатического давления на плоскую поверхность
где - глубина погружения центра тяжести смоченной части площади поверхности; -площадь смоченной части поверхности.
Единицей силы в системе СИ- Ньютон: 1Н=кг*м/с2
Сила избыточного давления при p0=pат
Эта сила приложена в центре давления, координата которого определяется по формуле
-координата центра тяжести смоченной поверхности;
I0- момент инерции площади смоченной части поверхности относительно горизонтальной оси, проходящей через центр ее тяжести.
Внешнее давление р0 распределено равномерно по всей площади смоченной части поверхности, поэтому его равнодействующая Р0=р0 приложена в центре тяжести этой поверхности.
Равнодействующая Р=Р0+Р1
Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность
Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность
,
где - составляющие силы избыточного давления по соответствующим осям.
В случае цилиндрической поверхности
Рх и Рz- горизонтальная и вертикальная составляющие силы Р.
Горизонтальная составляющая избыточного давления Рх равна силе давления на вертикальную проекцию криволинейной поверхности
-манометрическое давление на поверхности жидкости;
- глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции криволинейной поверхности.- площадь вертикальной проекции.
.- площадь вертикальной проекции.
(Если , то )
Вертикальная составляющая Рz равна весу жидкости в объеме тела давления.
Тело давления расположено между вертикальными плоскостями, проходящими через крайние образующие цилиндрической поверхности, самой цилиндрической поверхностью и свободной поверхностью жидкости или ее продолжением.
(Если криволинейная поверхность не цилиндрическая Рy определяется как Рх).