Комплект Учебный курс по Гидравл_Задачи / 032752_FDAED_lekcii_i_zadachi_po_gidravlike_i_gidroprivodu / 1semestr_rus / Тема_6

Тема 6.

Гидравлические потери энергии. Режимы течения жидкости. Число Рейнольдса.

Ламинарный режим течения жидкости. Формула Стокса.

Закон Гагена-Пуазейля.

Гидравлические потери энергии

Как мы уже отметили на прошлой лекции, важнейшим уравнением гидравлики является уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости, которое можно записать

Z + p / ρg + αU_ср² /2g + h_Σ = const.

Для применения уравнения Бернулли в решениях прикладных инженерных задач необходимо определять затраты энергии или потери напора на преодоление гидравлических сопротивлений h_Σ.

Причина появления в реальных жидкостях потерь энергии – это свойство этих жидкостей оказывать сопротивление касательным усилиям придвижении. Сопротивления могут быть обусловлены вязкостными или инерционными силами. Вязкостные силы зависят от внутреннего трения между частицами жидкости, а инерционные – от способности частиц жидкости оказывать сопротивление изменению своего движения.

В связи с этим различают потери энергии двух видов – по длине h_l и местные h_M.

Потери по длине h_l проявляются равномерно по длине потока и пропорциональны ей. Они возникают при движении жидкости в трубах и открытых руслах.

Местные потери h_M образуются в результате изменения скоростной структуры потока на участке движения. Они обычно обусловлены резким изменением конфигурации потока (поворот, расширение, сужение, кран, задвижка и т.п.)

В общем случае имеют место оба вида потерь – по длине и местные, значение которых суммируют

h_{Σ =} Σ h_l + Σ h_{M ,}

где Σ h_l – сумма потерь по длине разных участков трубы, Σ h_M – сумма всех местных потерь.

Возникновение гидравлических сопротивлений при движении вязкой жидкости связано с работой сил трения внутри жидкости. Общие законы внутреннего трения в жидких телах были впервые сформулированы И.Ньютоном в 1686 г. Было установлено, что сила внутреннего трения имеет следующие свойства: прямо пропорциональна относительной скорости перемещения слоев жидкости, т.е. градиенту скорости dU/dn; прямо пропорциональна площади поверхности соприкасания этих слоев ω; зависит от свойств или рода жидкости, т.е. динамической вязкости μ.

Таким образом, сила внутреннего трения

T = - μ ω dU/dn

Если определить силу на единицу поверхности, то так называемое касательное напряжение τ можно записать:

τ = - μ dU/dn

Механизм действия сил сопротивления очень сложен. Аналитически пока не удалось получить универсальное соотношение для их определения. Но было установлено, что потери энергии зависят от режима движения жидкости, который предопределяет те или иные теоретические или эмпирические зависимости.

Режимы течения жидкости. Число Рейнольдса.

То, что движение жидкости может происходить по разному отмечали Хаген Г., Менделеев Д.И., но впервые экспериментальное исследование режимов течения жидкости выполнил английский физик О.Рейнольдс, в 1883г.

Рейнольдс проводил опыты на такой установке (рис.6.1.)

Рис. 6.1.

Установка состоит из бака 1 с исследуемой жидкостью и стеклянной горизонтальной трубы 2 с краном 3 для регулирования расхода. Для измерения расхода имеется мерная емкость 4. Над баком 1 имеется небольшая емкость 5 с подкрашенной жидкостью, которая может поступать через краник 6 по тоненькой трубочке 7 на вход трубы 2.

Опыты проводились следующим образом. Открывались краны 3 и 6, измерялся расход жидкости и одновременно проводились наблюдения за струйкой окрашенной жидкости в прозрачной трубе 2. При малых скоростях движения в трубе 2 окрашенная струйка не расплывается и имеет вид натянутой линии, т.е. течение имеет слоистый характер и отсутствует перемешивание жидкости. Такой режим течения получил название ламинарным.

При увеличении скорости течения в трубке 2 струйка краски начинает колебаться, затем размываться и перемешиваться, причем становится заметным вихреобразования и вращательное движение жидкости. Такой режим течения называется турбулентным. Движение отдельных частиц жидкости при таком режиме оказывается хаотичным, появляются нормальные к направлению течения составляющие скорости.

Существует еще некоторый переходной режим течения, при котором струйка краски еще не размывается полностью, но и не имеет вид прямолинейной.

Рейнольдс установил общие условия, при которых возможно существование ламинарного и турбулентного режимов движения жидкости и переход от одного к другому. Оказалось, что режим течения жидкости в трубе зависит от безразмерного числа, которое учитывает среднюю скорость U, диаметр трубы d, плотность жидкости ρ и ее вязкость μ. Это число, которое получило название число Re, имеет вид:

Re = Udρ / μ = Ud / ν

Опытным путем было установлено, что при значениях числа Re=2320 происходит переход от ламинарного режима течения к турбулентному. Это значение называется критическим Re и обозначается Re_кр. Таким образом по числу Re можно судить о режиме течения. При Re<Re_кр- режим течения ламинарный, при Re>Re_кр - турбулентный. Переходный режим считается при Re= 2320–4000.

Таким образом, зная скорость движения жидкости, ее вязкость и диаметр трубы можно расчетным путем найти число Re и определить режим течения жидкости.

Ламинарный режим течения жидкости. Формула Стокса.

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой горизонтальной круглой трубе с внутренним диаметром d = 2r₀ (рис. 6.3). Выделим в ней отрезок длиной в между сечениями 1-1 и 2-2. Пусть в сечении 1-1 давление равно р_1, а сечении 2-2 – р₂. Так как труба горизонтальная, диаметр постоянный, следовательно U₁=U₂, α = const, то уравнение Бернулли для этих двух сечений будет

p₁ / ρg = p₂ / ρg + h_тр,

где h_Тр – потеря напора на трение по длине.

Отсюда h_тр = p₁ – p₂ / ρg = p_тр / ρg.

РИСУНОК

В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема, т.е. равенство нулю суммы действующих сил: силы давления и сопротивления.

(p₁ – p₂) π r ² - 2 π r l τ = 0.

Отсюда τ = p_тр r / 2 l (6.1)

Из этой формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рис. 6.3 слева.

Выразим касательное напряжение τ по закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости

τ= - μ dU/dy = - μ dU/d r

Подставляя значение τ в предыдущую формулу (6.1) получаем

p_тр r/2 l =- μ dU/d r

Найдем отсюда приращение скорости

dU = - p_тр rdr / 2μl

Проинтегрируем U= - p_тр r ² / 2μl2 (6.2)

Постоянную интегрирования найдем из условия, что на стенке скорость равна нулю, т.е. при r = r₀, U=0.

С = p_трr₀² / 4 μl.

Подставляя значение С в формулу (6.2) получим выражение для определения скорости по радиусу трубы

U = p_тр4 μl (r₀²-r²) (6.3)

Формула (6.3) называется Законом Стокса для распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей, является параболой второй степени.

Нетрудно заметить, что максимальная скорость будет в центре трубы, т.е. при r = 0:

U_max = p_трr₀² _/ 4 μl . (6.4)

Закон Гагена – Пуазейля

Применим полученный закон распределения скоростей (уравнение (6.3)) для расчета расхода. Для этого сначала выразим элементарный расход через бесконечно малую площадку dω.

dQ=Udω.

Здесь площадку dω возьмем в виде кольца радиусом r и шириной dr, тогда

dQ = p_{тр /} 4 μl (r₀² -r²) 2π rdr

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r=0 до r = r_0, получим:

Q = π p_тр / 2μl(r₀²-r²) r dr = π p_трr₀⁴/8μl. (6.5)

Найдем среднюю скорость делением расхода на площадь поперечного сечения

U_ср = Q / π r₀² = p_тр r₀² / 8μl (6.6)

Сравнив выражение для средней скорости (6.6) с выражением для максимальной скорости (6.4) получим U_ср = 0,5 U_max, т.е. при ламинарном режиме течения средняя скорость в два раза меньше максимальной.

Для получения закона сопротивления, т.е. h_тр = f(Q), определим h_тр из уравнения (6.5).

p_тр = 8μl Q / π r₀⁴ или

h_тр = p_тр / ρg = 8μl Q / π r₀⁴ ρg

Заменив μ = νρ, d = 2r₀, получим

h_тр = 128ν l Q / π gd⁴ (6.7)

Выражение (6.7) называется законом Гагена-Пуазейля и позволяет определить потери энергии при ламинарном течении вязкой жидкости в круглой трубе при заданном расходе Q на участке длиной l.