1. место и роль численных методов, погрешности расчетов

1.1. Основные этапы решения задач с помощью эвм

Решение сложной инженерной или технической задачи с использованием электронной вычислительной техники с определенной степенью условности можно разбить на ряд последовательных этапов:

1. постановка задачи и построение физической модели;

2. выбор или построение математической модели;

3. постановка и предварительный анализ вычислительной задачи;

4. выбор или построение численного метода;

5. алгоритмизация и программирование;

6. обработка и интерпретация результатов расчета;

7. коррекция физической и математической моделей.

Рассмотрим эти этапы более конкретно.

1. Постановка задачи и построение физической модели. Обычно прикладная задача бывает сформулирована в самом общем виде: исследовать явление; спроектировать устройство; дать прогноз поведения объекта в определенных условиях и т.д. Так как исследуемое явление находится во взаимосвязи с большим количеством окружающих, то требуется вычленение его из общей совокупности. На этом этапе формируется физическая модель исследуемого явления, отбрасываются несущественные или оказывающие слабое воздействие сопутствующие процессы, т.е. происходит конкретизация постановки задачи. При этом задача формулируется таким образом, чтобы найденное решение было полезным и в то же время могло быть получено существующими методами и в заданные сроки.

2. Выбор или построение математической модели. Для детального анализа исследуемого явления или процесса необходимо перевести его описание на язык математики, то есть построить математическую модель. Часто существует возможность выбрать для решения задачи математическую модель из имеющихся, более того, иногда совершенно разные физические явления описываются одной и той же математической моделью (например, диффузия и теплопроводность). Однако нередко для описания процессов и явлений требуется модификация или разработка новых математических моделей. Рассматриваемый этап очень важен, так как удачный выбор математической модели может оказаться решающим шагом в достижении поставленной цели. При этом важно, чтобы сложность математической модели соответствовала сложности поставленной задачи. Если намеченных целей можно достичь при помощи более простой математической модели, то ей и следует отдать предпочтение.

3. Постановка и предварительный анализ вычислительной задачи. На основе выбранной или разработанной математической модели формулируют вычислительную задачу. Фактически это ответ на вопрос: что необходимо считать? На этом этапе также проводятся качественный анализ задачи на предмет корректности ее постановки (выяснение вопросов существования и единственности решения) и исследование устойчивости решения к погрешностям входных данных и используемых численных методов. К сожалению, при решении практических задач их строгого предварительного исследования провести не удается. Особую ценность имеют различные аналитические решения упрощенных задач, являющихся основой для тестовых испытаний при отладке программы.

4. Выбор или построение численного метода. Численные методы используются для нахождения численного решения и нередко сводятся к последовательному решению стандартных задач, для которых разработаны эффективные численные методы. Решение конкретной прикладной задачи основывается либо на выборе наиболее подходящих методов, либо на их адаптации к особенностям решаемой задачи. При этом если возникающая вычислительная задача является новой, то не исключено, что для ее решения не существует готовых методов. Более того, часто для решения одной и той же задачи может быть использовано несколько методов, и для поиска наиболее эффективного решения необходимо знать их особенности и критерии оценки их качества.

5. Алгоритмизация и программирование. Выбранный численный метод обычно содержит только принципиальную схему решения задачи, не включающую многие детали, без которых невозможна реализация метода на ЭВМ. Поэтому необходимо разработать подробную детализацию всех шагов реализации численного метода – алгоритм. Алгоритм – это точное предписание, которое задает вычислительный процесс (счет по программе), начинающийся с исходных данных и направленный на получение полностью определяемого этими данными результата. Составление программы сводится к переводу разработанного алгоритма на выбранный язык программирования. На этом этапе проводится отладка и тестирование программы.

6. Обработка и интерпретация результатов расчета. Результаты расчета, как правило, имеют вид некоторой, подчас очень большой совокупности чисел. Понять и интерпретировать эту совокупность фактически очень трудно, особенно если интерес представляет лишь некоторая ее часть. Поэтому необходимо проводить предварительную обработку полученных данных, т.е. представить их в виде таблиц, графиков или в другой удобной для восприятия форме. Такое представление данных является и частью задачи их интерпретации, так как дает возможность выявить особенности изучаемого явления или процесса.

7. Коррекция физической и математической моделей. Данный этап является завершающим. При решении практических задач очень часто выясняется, что результаты не в полной мере соответствуют экспериментальным данным. Причиной этого является несовершенство либо физической, либо математической модели (недостаточное количество исходных данных для моделирования, их малая точность, отсутствие в модели некоторых существенных особенностей). В этом случае требуется коррекция моделей объекта, и цикл расчетов начинают заново. Обычно такую коррекцию проводят после каждого этапа, чтобы добиться большей адекватности модели реальному объекту.