- •1.1. Основные этапы решения задач с помощью эвм
- •1.2. Погрешности результатов численного решения задач
- •1.3. Основные требования к алгоритмам и программному обеспечению
- •2.1. Метод дихотомии (деления отрезка пополам)
- •2.2. Метод хорд
- •2.3. Метод простой итерации
- •2.4. Метод Ньютона
- •2.5. Модификации метода Ньютона
- •3.1. Основные понятия вычислительной линейной алгебры
- •3.2. Некоторые точные методы решения слау
- •3.3. Итерационные методы решения слау
- •3.4. Вычисление собственных значений матрицы
- •4.1. Постановка задачи интерполяции
- •4.2. Полиномиальная интерполяция. Формула Лагранжа
- •4.3. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона
- •4.4. Кусочно-полиномиальная интерполяция
- •4.4. Программы решения задач интерполяции с помощью Matlab
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Погрешности методов численного дифференцирования
- •5.3. Численное интегрирование. Простейшие методы
- •5.4. Метод Ньютона-Котеса и его модификация
- •5.5. Методы Монте-Карло
- •6.1. Решение пере- и недоопределенных слау
- •6.2. Примеры решение переопределенной слау методом наименьших квадратов Пусть
- •6.3. Метод наименьших квадратов для регрессионного анализа
- •Задание к главе 6
- •7.1. Методы решения задачи Коши
- •7.2. Методы Рунге-Кутта решения задачи Коши
- •7.3. Решение краевой задачи для оду
- •Задания к главе 7
- •8.1. Решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •8.2. Решения дифференциальных уравнений параболического типа
- •8.3. Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа
- •8.4. Решение дифференциальных уравнений гиперболического типа
4.3. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона
Для вычислений удобна форма записи интерполяционного полинома, связанная с разделенными разностями. Введем разделенные разности для известных точек :
нулевого порядка ;
первого порядка ;
второго порядка и т.д.
Разделенные разности имеют размерности соответствующих производных функции . Если исходная функция представима в виде полиномастепени , то разделенные разности можно записать относительно этого полинома соответственно:
первого порядка ;
второго порядка и т.д.
Для разделенных разностей справедливо равенство
, (4.12)
доказательство которого можно провести по индукции.
Непосредственно из (4.12) вытекает ряд следствий:
Разделенная разность является линейным оператором относительно функции :
;
Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов (т.е. не изменяется при любой их перестановке).
Если функция задана в точках , то таблицу
|
|
| ||
|
|
|
| |
|
| |||
|
|
| ||
|
| |||
|
|
|
| |
|
|
|
называют таблицей ее разделенных разностей.
Построим интерполяционные формулы, используя разделенные разности полиномов. Пусть – полином степени . Вычтя из константу , получим полином , который обращается в нуль при и поэтому делится нацело на . Следовательно, первая разделенная разность полинома степени
(4.13)
есть полином степени относительно и в силу симметричности выражения (4.13) относительно . Аналогично вторая разность есть полином степени. В самом деле, числитель разделенной разности
(4.14)
обращается в нуль при и, значит, нацело делится на , а степень полинома при этом уменьшается на единицу. Далее можно показать, что разделенная разность есть полином нулевой степени, т.е. константа, а разделенные разности более высоких порядков равны нулю.
Выразив из (4.13) полином , а из (4.14) полином получим
(4.15)
и т.д. Эта цепочка соотношений конечна, так как разделенная разность полинома равна нулю. Последовательно подставив эти соотношения друг в друга, получим формулу
которая содержит значения разделенных разностей полинома в узлах . Однако значения интерполяционного полинома в узлах по определению совпадают со значениями функции и поэтому разделенные разности функций и равны. Подставив в полученную формулу разделенные разности функции , получим интерполяционный полином в виде
. (4.16)
Этот полином называется интерполяционным полиномом Ньютона.
Пример. Пусть функция . Выберем в качестве узлов точки . Составим таблицу разделенных разностей:
0 |
0,000 |
|
|
|
|
|
0,500 |
|
|
1 |
0,500 |
|
–0,067 |
|
|
|
0,366 |
|
–0,016 |
2 |
0,866 |
|
–0,116 |
|
|
|
0,134 |
|
|
3 |
1,000 |
|
|
|
С учетом найденных величин, получим
.
Применив интерполяционный полином, можно приближенно найти значения функции в точках, не совпадающих с узлами. В нашем случае, например, .
Если узлы интерполяции отстоят друг от друга на одном и том же расстоянии, т.е. удовлетворяют соотношению , где , а , то, обозначив , получим следующие равенства:
,
и т.д. В общем случае
, (4.17)
где . Тогда
Поэтому интерполяционный полином (4.16) преобразуется к виду
. (4.18)