- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •27 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •33-34Численное дифференцирование.
- •35-36.Численные методы решения задачи Коши.
- •37-39.Методы Рунге-Кутта.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
(1)
Задача называется краевой, так как заданы два краевых условия.
Отличие от задачи Коши: в задаче Коши все дополнительные условия даются в одной точке, в краевой задаче - в разных точках. Иногда можно привести краевую задачу к типу задач Коши. Встает проблема: как использовать граничное условие на правом конце?
Пусть дана сетка - шаг сетки.
Аппроксимируем на сетке производные с порядком:
;
Подставив данные соотношения в (1) получим:
.
Умножим все на , тогда получим следующую запись системы:
, где
(2)
и симметричны относительно 1.Надо с той же точностью аппроксимировать граничные условия: первого рода :второго рода :
третьего рода :
Аппроксимация граничных условий:
на левом конце отрезка:
Выражаем :
А из уравнения (1):.
После подстановки и приведения подобных слагаемых, получаем:
аналогично поступаем с краевым условием на правом конце отрезка. В итоге получаем неявную схему(2’)
Таким образом, получили трех диагональную систему, которая решается прогонкой.
47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
Рассмотрим снова краевую задачу для ОДУ 2-го порядка (1).Удобно представить оператор таким образом, чтобы он включал в себя краевые условия:
(3) задача (3) запишется в виде(3’)
Определение1.Говорят, что задача (3) аппроксимирована на сетке с порядком , если
,(4)где - точное решение на сетке,-сеточное решение задачи (3),- сеточная норма. Заметим, что по определению сеточное решение.
С другой стороны, , т.к. при подстановке точного решения в левую часть сеточного уравнения системы (3), получим несколько иную сеточную правую часть. Поэтому, обозначив- “невязка”, из (4)- по условию аппроксимация порядкаp. Итак(5)
Определение2.Пусть - невозмущенная задача на сетке, (6)- возмущенная задача, причем.Разностная схема (6) устойчива “в целом”, если малое изменение “правой части” приводит к малому изменению решения, т.е. еслигде с2 не зависит от h.
Пример1.Пусть в задаче Коши функция f(x,u) линейна по переменным.
Приведем к каноническому виду одношаговый итерационный процесс.После аппроксимации производнойy’ на сетке wh в точке (xn,yn), получаем
(7)
К такому же виду может быть приведена система уравнений в задаче Коши, где уже yn– вектор,Rh– матрица.
Пример2.Приведем к такому же виду краевую задачу (3).
Введем векторы:и матрицу(3) переписывается в виде
(8)
При таком преобразовании можно исследовать отдельно устойчивость по правой части и устойчивость по граничным условиям.
Теорема1. (Необходимый и достаточный признак устойчивости процедуры (8) по правой части). итерационная процедура устойчива по правой части тогда и только тогда, когда,
где с не зависит от h (т.е. от N)Однако, это условие не всегда легко проверить. Поэтому для конкретных итерационных схем вырабатываются и доказываются конкретные достаточные условия. Таковы, например, условия “благонеявного преобладания” для схем прогонки.
Теорема2.(Необходимый спектральный признак устойчивости).
Пусть - собственные числа оператора Rh. Для устойчивости схемы (8) по правой части необходимо выполнение условия:,(9)
причем константа не зависит от h (отN).Пусть (9) не выполняется для некоторого собственного значения. То есть, не существует такой константы, для которой (9) выполнялось бы для данного. Фактически, это означает, что вместо линейного ограничения имеем:, где 0<<1,c1-некоторая константа.Пусть - соответствующий собственный вектор, т.е.Оценим по сеточной норме:.Из последнего неравенства следует:
Заметим, что по условию на, поэтому т.е. нарушается условие устойчивости, сформулированное ранее. Происходит экспоненциальный рост ошибки.
Рассмотрим снова сеточное уравнение вида (6)
Теорема 3.(О сходимости разностной схемы (6)).Пусть конечно-разностная задача (6) однозначно разрешима, аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с порядком p относительно h и устойчива. Тогда имеет место сходимость:,
где - решение сформулированной разностной задачи;- точное решение дифференциальной задачи, взятое на сетке.При этом, если выполняется условие,то говорят, что имеет место сходимость порядка p.Согласно условию теоремы имеет место аппроксимация порядка p:
(10) (11)
- невязка, которая получается при подстановке точного решения в левую часть уравнения. Подставляя в (10):(12)В возмущенном уравнении
в качестве возмущения выберем невязку, т.е. положим , тогда. (13)
В силу старого определения устойчивости имеем:.(14)
Уравнения (11) и (13) имеют одинаковые правые части. В силу однозначной разрешимости задачи (6), имеем:,подставим в (14)
Таким образом, мы одновременно доказали сходимость и установили, что порядок сходимости совпадает с порядком аппроксимации.