В k-разрядной ячейке может храниться 2k различных значений целых чисел.
Алгоритм внутреннего представления целого положительного числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове:
-перевести число N в двоичную систему счисления; -дополнить слева незначащими нулями до k разрядов.
Переведем число 160710 в двоичную систему: 160710 =
110010001112. Внутреннее представление этого числа в ячейке будет следующим: 0000 0110 0100 0111.
Для записи внутреннего представления целого отрицательного числа (-N) необходимо:
-получить внутреннее представление положительного числа N;
-обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0; -полученному числу прибавить 1 (дополнительный код).
Инвертированием получим обратный код: 1111 1001 1011 1000. Добавим единицу: 1111 1001 1011 1001 - это и есть внутреннее
двоичное представление числа -1607.
Представление числовых данных в памяти ЭВМ
Для представления информации в памяти ЭВМ (как числовой, так и не числовой) используется двоичный способ кодирования.
Элементарная ячейка памяти ЭВМ имеет длину 8 бит (байт). Каждый байт имеет свой номер (его называют адресом). Наибольшую последовательность бит, которую ЭВМ может обрабатывать как единое целое, называют машинным словом.
Длина машинного слова зависит от разрядности процессора и может быть равной 16, 32, 64 битам и т.д.
Представление целых чисел в дополнительном коде
Диапазон значений величин зависит от количества бит памяти, отведенных для их хранения. Например, величины типа Integer лежат в диапазоне от -32768 (-215) до 32767 (215 - 1) и для их хранения отводится 2 байта (16 бит); типа LongInt — в диапазоне от -231 до 231 - 1 и размещаются в 4 байтах (32 бита); типа Word — в диапазоне от 0 до 65535 (216 - 1) (используется 2 байта) и т.д.
Данные могут быть интерпретированы как числа со знаком, так и без знака. В случае представления величины со знаком самый левый (старший) разряд указывает на положительное число, если содержит нуль, и на отрицательное, если — единицу.
Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0.
Дополнительный код положительного числа совпадает с его
прямым кодом.
Прямой код целого числа может быть получен следующим образом: число переводится в двоичную систему счисления, а затем его двоичную запись слева дополняют таким количеством незначащих нулей, сколько требует тип данных, к которому принадлежит число.
Например, если число 37(10) = 100101(2) объявлено величиной типа
Integer (шестнадцатибитовое со знаком), то его прямым кодом будет 0000000000100101, а если величиной типа LongInt (тридцатидвухбитовое со знаком), то его прямой код будет 00000000000000000000000000100101.
Для более компактной записи чаще используют шестнадцатеричное представление кода. Полученные коды можно переписать соответственно как 0025(16) и 00000025(16).
Дополнительный код (англ. two’s complement, иногда twos- complement) — наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах.
Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел, чем упрощает архитектуру ЭВМ.
Дополнительный код отрицательного числа можно получить инвертированием модуля двоичного числа (первое дополнение) и прибавлением к инверсии единицы (второе дополнение).
Дополнительный код целого отрицательного числа может быть получен по следующему алгоритму:
•записать прямой код модуля числа;
•инвертировать его (заменить единицы нулями, нули — единицами);
•прибавить к инверсному коду единицу.
Например, запишем дополнительный код числа -37, интерпретируя его как величину типа LongInt (тридцатидвухбитовое со знаком):
прямой код числа 37 есть 00000000000000000000000000100101;
инверсный код 11111111111111111111111111011010;
дополнительный код 11111111111111111111111111011011 или FFFFFFDB(16).
При получении числа по его дополнительному коду прежде всего необходимо определить его знак. Если число окажется положительным, то просто перевести его код в десятичную систему счисления. В случае отрицательного числа необходимо выполнить следующий алгоритм:
•. вычесть из кода числа 1;
•инвертировать код;
•перевести в десятичную систему счисления. Полученное число записать со знаком минус
Примеры. Запишем числа, соответствующие дополнительным кодам:
•0000000000010111. Поскольку в старшем разряде записан нуль, то результат будет положительным. Это код числа 23.
•1111111111000000. Здесь записан код отрицательного числа. Исполняем алгоритм: 1) 1111111111000000(2) - 1(2) =
1111111110111111(2); 2) 0000000001000000; 3) 1000000(2) = 64(10). Ответ: -64.
«Число с плавающей запятой» это синоним для «число, записанное в экспоненциальной форме»:
1,23 *105 = 12,3 * 104 = 1230 * 102 = 0,123 * 106 = 1230000 * 10-1
Самые простые операции. Пусть:
X1 = M1qp1 X2 = M2qp2
Тогда:
X1 * X2 = M1qp1 * M2qp2 = M1 * M2 * qp1 * qp2 = (M1 * M2) * qp1+p2 X1 / X2 = M1qp1 / M2qp2 = M1 / M2 * qp1 / qp2 = (M1 / M2) * qp1-p2
То есть, при умножении нужно перемножить мантиссы и сложить показатели степени, при делении – разделить мантиссы и вычесть из показателя степени делимого показатель степени делителя. Например:
(1,2*105) * (2*10-2) = (1,2 * 2) * 105-2 =2,4*103