Інтегральне числення функцій однієї змінної (конспект лекцій)

1. Первісна функція. Невизначений інтеграл та його властивості

В диференціальному численні основним завданням було відшукання похідної заданої функції. Але в багатьох питаннях математичного аналізу і його застосувань виникає потреба розв’язати обернену задачу: За даною функцією знайти таку функцію, похідна якої дорівнювала б, тобто.

Приклад. У диференціальному численні було показано, що миттєва швидкість прямолінійного руху точки дорівнює похідній координати точки: . Але якщо за заданою швидкістю руху точкипотрібно визначити закон її руху, тобто залежність її координати від часу, то це і означає, що треба знайти таку функцію, похідна якої дорівнює заданій функції.

Означення. Функція називається первісною для функції на деякому проміжку , якщо для всіх значень виконується рівність .

Приклад. Функція є первісною для функції на всій числовій осі, бо при будь-якому значенні буде .

Зазначимо, що функції , і взагалі, дебудь-яка стала, також є первісними для .

Розглянутий приклад свідчить, що первісна для даної функції визначається неоднозначно. Справді, очевидно, що якщо , то і , тобтопри будь-якій сталійтакож є первісною для функції. Виникає питання: чи вичерпує множина функцій виглядуусю сукупність первісних для функції ? Виявляється, що так.

Теорема. Якщо - первісна для функції на деякому проміжку , то будь-яка інша первісна для на тому ж проміжку може буди подана у вигляді , де – стала.

Нехай - яка небудь інша первісна для на , тобто , . Позначимо . Тоді для будь-якого :

.

Як відомо з диференціального числення, це означає, що , отже або . Означення. Множина всіх первісних для даної функції на проміжкуназиваєтьсяневизначеним інтегралом від функції на цьому проміжку і позначається(називається підінтегральною функцією,- підінтегральним виразом, а- змінною інтегрування).

Згідно з вищезазначеним =, де - яка небудь первісна для функції , а – довільна стала.

Відзначимо основні властивості невизначеного інтеграла.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції: .

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу: .

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої: .

Перелічені властивості показують, що інтегрування і диференціювання

– взаємно обернені операції.

4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла: , якщо .

5. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від доданків. Наприклад .

Властивості 4) і 5) перевіряються почленним диференціюванням відповідних рівностей на підставі 1) .

2. Таблиця інтегралів

У наведеній нижче таблиці основних інтегралів частина формул безпосередньо випливає з таблиці похідних і визначення інтегрування як дії, оберненої до диференціювання, інші перевіряються диференціюванням. Цю таблицю необхідно вивчити, оскільки існуючі методи інтегрування якраз мають метою звести шуканий інтеграл до табличних.

1),

2) ,

3) , зокрема ,

4),

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) .

Основні властивості невизначеного інтеграла разом з наведеною тут таблицею інтегралів уже дозволяють знаходити деякі інтеграли (метод безпосереднього інтегрування).

Приклад. Знайти інтеграли

а) .

б)

.