- •Інтегральне числення функцій однієї змінної (конспект лекцій)
- •Таблиця інтегралів
- •Заміна змінної в невизначеному інтегралі (метод підстановки)
- •4.Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі
- •Інтегрування раціональних функцій
- •Інтегрування деяких ірраціональних функцій
- •7. Інтегрування деяких виразів, що містять тригонометричні функції
- •8. Використання таблиць інтегралів
- •9. Поняття про інтеграли, що не виражаються через елементарні функції
- •10. Приклади задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла
- •2)Задача про шлях точки у прямолінійному русі.
- •11. Означення визначеного інтеграла
- •12. Основні властивості визначеного інтеграла
- •13. Інтеграл як функція верхньої межі. Формула Ньютона-Лейбніца
- •14. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі
- •15. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •16. Загальна схема застосування визначеного інтеграла
- •17. Обчислення площі плоскої фігури
- •18. Обчислення довжини дуги
- •19. Обчислення об’єму тіла
- •20. Обчислення площі бічної поверхні тіла обертання
- •21. Обчислення роботи змінної сили
- •22. Обчислення сили тиску рідини на вертикальну пластину
- •23. Невластивий інтеграл по нескінченному проміжку
- •24. Ознаки збіжності невластивого інтеграла по нескінченному проміжку
- •25. Невластивий інтеграл від необмеженої функції
- •26. Ознаки збіжності невластивого інтеграла від необмеженої функції
- •27. Наближене обчислення визначених інтегралів
26. Ознаки збіжності невластивого інтеграла від необмеженої функції
Теорема. Якщо на проміжку функціїінеперервні,мають особливу точкуі задовольняють нерівність, то
а
Рис. 22
б) якщо розбігається інтеграл , то розбігається і інтеграл.
Ця достатня умова збіжності (чи розбіжності) невластивих інтегралів називається ознакою порівняння і за своїм геометричним тлумаченням цілком аналогічна до відповідної ознаки для невластивих інтегралі по нескінченному проміжку ( див. рис. 22)
Рис. 22
Теорема. (ознака порівняння в граничній формі)
Якщо функції інеперервні і приймають додатні значення в проміжку, а примають особливу точку і існує границято інтегралиіабо обидва збігаються або обидва розбігаються.
Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл
Функції імають особливу точку. Оскільки існує границяі інтегралрозбігається, то розбігається і заданий інтеграл.
Ознаки порівняння придатні лише у випадку знакосталих підінтегральних функцій. Збіжність невластивого інтеграла від знакозмінної функції в деяких випадках можна виявити за допомогою наступної достатньої умови.
Теорема. Якщо функція має особливу точку на відрізкуі інтеграл збігається, то збігається і інтеграл.
В цьому випадку інтеграл називаютьабсолютно збіжним. Якщо ж інтеграл збігається, арозбігається, то інтегралназиваютьумовно (або неабсолютно) збіжним.
Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл . Підінтегральна функція має особливу точку. При цьому. Оскілки збігається, то збігається і, отже збігається (абсолютно) і заданий інтеграл.
27. Наближене обчислення визначених інтегралів
Задачі практики приводять іноді до інтегралів, точне обчислення яких за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе або утруднене: первісна підінтегральної функції може не виражатися через елементарні функції, відшукання первісної може вимагати надто громіздких обчислень, нарешті підінтегральна функція може бути задана таблицею чи графіком, а не аналітичним виразом. В таких випадках інтеграл доводиться обчислювати наближено за допомогою чисельних методів. Ми розглянемо тут два такі методи, найпростіші і в той же час широко використовувані як при ручних обчисленнях, так і для програмування на ЕОМ.
Рис. 23
Позначимо -ординати графіка підінтегральної функції в точках поділу. Задача полягає в тому, щоб дати вираз наближеного значення інтеграла через ці ординати.
а
Рис. 23
Тоді площа першої смужки площа другої смужки
……
Площа ої смужки.
Додаючи ці площі, отримуємо наближене значення шуканого інтеграла:
Це і є правило або формула трапецій. Можна довести, що гранична абсолютна похибка цієї формули наближено пропорціональна, тобтоТаким чином, при зменшенні крокувдвічі похибка зменшується приблизно в 4 рази. Цим можна скористатися для наближеної (а для деяких функцій і точної) оцінки похибки. Для цього обирають числопарним і обчислення інтеграла повторюють з подвоєним кроком. Нехай- точне значення інтеграла,- результат обчислення з кроком,- результат обчислення з крокомі- похибка результата. Тоді, звідки одержуємо оцінку.
Приклад. Розглянемо застосування формули трапецій на прикладі інтеграла, точне значення якого відоме . Оберемо, тоді,,,,,. Тоді. Похибка близько, тобто близько%.
б) Правило Сімпсона (правило парабол).
За правилом Сімпсона число береться парним. Позначимо, як і раніше, через- результат обчислення інтегралаза правилом трапецій з кроком, а- теж саме з подвоєним кроком. Для похибки результатубуло одержано вираз. Якщо дододати цю похибку, то результат очевидно стане точнішим. Тому природно покласти
Замінимо іїх виразами:
.
Тоді
,
звідки отримуємо
.
Це і є формула Сімпсона. Її називають також формулою парабол, тому що її можна отримати подібно до формули трапецій, але замінюючи на кожній парі частинних відрізків графік функції параболою, яка проходить через ті ж точки (а не ламаною, як у методі трапецій). Правило Сімпсона при незначному збільшенні обсягу обчислень значно точніше, ніж правило трапецій. Його гранична похибканаближено пропорціональна, тобто, і при зменшенні кроку в 2 рази зменшується в 16 разів.
Приклад. Розглянемо знову і оберемо, як і в попередньому прикладі,. Тоді,,,,,.
За формулою Сімпсона
.
Похибка близько 0,0045, тобто близько 0,23% і порівняно з похибкою правила трапецій менша в 22 рази.