T-R-DU2015

31

ВАРЫЯНТ 29

Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:

1. e y 1 x2 dy 2x 1 e y dx 0 .

Знайсці частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:

2. y sin	2			3.
		x yctgx,	y 2

Знайсці агульны выгляд частковага рашэння:

3. y 9 y f (x)

а) f (x) 7 sin 3x;	в) f (x) cos3x 5 sin 3x;
б) f (x) x2 4x 1;	г) f (x) e3x .

Метадам падбору частковых рашэнняў знайсці:

а) агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:

4. y 3y 4 y 3e x ;

5. 9 y 6 y y cos 2x ;

б) частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:

					2x	y 0 0,
	6. y		4 y		4 y 8e ,
							y 0 1.

Знайсці частковае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:

dx			5x 3y 2e3t ,
					x 0 0,	y 0 1.
7. dt
dy			x y 5e	t	,
dt

8. Задачу 6 рашыць метадам аперацыйнага злiчэння.

32

ВАРЫЯНТ 30

Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:

1. 2x 1 y 4x 2y .

Знайсці частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:

2. xy y y2 ,

y 1 0.5 .

Знайсці агульны выгляд частковага рашэння:

3.	y 5 y 6 y f (x)
а)	f (x) 5e 2x ;	в) f (x) xe 3x ;
б) f (x) 6 sin 2x;		г) f (x) x2 7.

Метадам падбору частковых рашэнняў знайсці:

а) агульнае рашэнне дыферэнцыяльных ураўненняў:

4. 4 y y 5y x2 ;

5. 9 y 6 y y sin 2x ;

б) частковае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:

	6y cos6x,	y 0 0,
6. y			y 0 3.

Знайсці частковае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:

	dx				3x 2 y 4e 5t ,
					x 0 1,	y 0 0.
	7. dt
			dy		x 2 y 5,
	dt

8. Задачу 6 рашыць метадам аперацыйнага злiчэння.

33

IV. ДАДАДКОВЫЯ ЗАДАЧЫ ДЛЯ САМАСТОЙНАЙ ПРАЦЫ

ЗАДАЧА 1

Колькасць святла, якая паглынаецца пры праходжванні праз тонкі слой вады, прапарцыянальна таўшчыні слоя і колькасці святла, якое падае на яго паверхню. Калі пры праходжанні праз слой ў тры метры паглынаецца палова першапачатковай колькаці свету, то якая частка гэтай колькасці дойдзе да глыбіні 30 м?

ЗАДАЧА 2

За 30 дзѐн распалася 50% ад першапачатковай колькасці рэчыва. Праз колькі гадзін застанецца 1% ад першапачатковай колькасці рэчыва? Скорасць распаду рэчыва прапарцыянальна колькасці рэчыва, якое яшчэ не распалася ў разглядаемы момант.

ЗАДАЧА 3

У баку знаходзіцца 100 л раствору, які змяшчае 10 кг солі. У бак бесперапынна падаецца вада (5 л у хвіліну), якая перамешваецца з гэтым растворам. Сумесь выцякае з той самай хуткасцю. Колькі солі застанецца праз 1 гадз?

ЗАДАЧА 4

У паветры пакоя, які мае аб'ѐм 200 м3, змяшчаецца 0,15% вуглякіслага газу (CO2). Вентылятар падае ў хвіліну 20 м3 паветра, якое змяшчае 0,04% CO2. Праз колькі гадзін колькасць вуглякіслага газу ў паветры пакоя зменшыцца ў 3 разы?

ЗАДАЧА 5

Карабель прыцішвае свой рух пад уздеяннем сілы супраціўлення вады, якая прапарцыянальна скорасці карабля. Скорасць яго праз 5 с. будзе 8 м/с. Калі хуткасць зменшыцца да 1 м/с?

ЗАДАЧА 6

Пасудзіна, якая мае аб'ѐм 20 л, змяшчае паветра (79% азоту і 21% кіслароду). У пасудзіну цячэ 0,1 л азоту ў секунду, які бесперапынна перамешваецца, і выцякае такая ж колькасць сумесі. Праз колькі часу ў пасудзіне будзе 99% азоту?

ЗАДАЧА 7

Аўтамабіль рухаецца па гарызантальным участку шляху са скорасцю V=90 км/гадз. У некаторы момант часу ѐн пачынае прыцішваць рух. Сіла прыцішвання роўна 0,3 ад вагі аўтамабіля. Які час ѐн будзе рухацца ад пачатку прыцішвання да прыпынку і які шлях пройдзе за гэты час?

34

ЗАДАЧА 8

Скорасць распаду радыю прапарцыянальна колькасці радыю, які не распаўся. Вылічыць, праз колькі гадоў ад 1 кг радыю застанецца 650 г, калі вядома, што за 1600 гадоў распадаецца палова першапачатковай колькасці.

ЗАДАЧА 9

Куля ўваходзіць у дошку таўшчынѐй h=10см са скорасцю V0 =200 м/с і вылятае з дошкі, прабіў яе, з хуткасцю V1=80 м/с. Палічыўшы, што сіла супраціўлення дошкі руху кулі прапарцыянальна скорасці, знайсці час руху кулі праз дошку.

ЗАДАЧА 10

Запісаць ураўненне крывой, якая праходзіць праз пункт А(1;0), калі вядома, што адрэзак, які адсякае датычная ў любым пункце гэтай крывой на восі Оy, роўны адрэзку ад пункта дотыку да пачатку каардынат.

ЗАДАЧА 11

Знайсці ўраўненне крывой, якая праходзіць праз пункт А(2;4), калі вядома, што вуглавы каэфіцыент датычнай у любым пункце М у тры разы большы чым вуглавы каэфіцыент прамой, якая злучае пункт М з пачаткам каардынат.

ЗАДАЧА 12

Адпаведна закону Ньютана, скорасць ахаладжэння цела прапарцыянальна рознасці тэмператур цела і навакольнага асяроддзя. Тэмпература хлеба, які вымаюць з печы, зніжаецца ад 1000 да 600С за 20 хвіл. Тэмпература паветра

250С. Праз які прамежак часу (ад пачатку ахаладжэння) тэмпература знізіцца да

300С.

ЗАДАЧА 13

Запісаць ураўненне крывой, якая праходзіць праз пункт А(2;2), калі вядома, што плошча трапецыі, якая абмежавана восямі каардынат, усякай датычнай да крывой і ардынатай пункту дотыку, ѐсць велічыня пастаянная, роўная тром.

ЗАДАЧА 14

Знайсці пачатковую скорасць, пры якой цела масай m=3 кг за 10 с ад пачатку руху пройдзе 60 м пад дзеяннем сілы F=3 Н.

ЗАДАЧА 15

Вядома, што скорасць ахаладжэння цела ў паветры прапарцыянальна рознасці тэмператур цела і паветра. Тэмпература цела на працягу 20 хвіл

35

зніжаецца ад 1000 да 600 С. Тэмпература паветра роўна 200 С. Знайсці, за колькі гадзін тэмпература цела знізіцца да 250 С.

ЗАДАЧА 16

Даказаць, што крывая , якая валодае той уласцівасцю, што ўсе яе нармалі праходзяць праз адзін і той жа пункт, ѐсць акружнасць.

ЗАДАЧА 17

Запісаць ураўненне крывой, якая праходзіць праз пункт Р(1;2) і валодае наступнай уласцівасцю: плошча трохвугольніка, які ўтвораны радыус-вектарам усякага пункта крывой, датычнай у гэтым пункце, і воссю абсцыс, роўна двум.

ЗАДАЧА 18

Маторная лодка рухаецца па возеры са скорасцю V0=20 км/гадз . Праз 40 с пасля выключэння матору хуткасць лодкі зменшыцца да V1=8 км/гадз. Знайсці скорасць лодкі праз 2 хвіл пасля выключэння матору. (Сіла супраціўлення вады руху лодкі прапарцыянальна яе скорасці.)

ЗАДАЧА 19

Даказаць, што крывая, вуглавы каэфіцыент датычнай якой ва ўсякім пункце прапарцыянальны абсцысе пункта дотыку, ѐсць парабала.

ЗАДАЧА 20

Цела масай m замацавана на спружыне (рысоры). Палічыўшы, што на яго дзейнічае толькі сіла пруткасці F ky , дзе k 0 – каэфіцыент

прапарцыянальнасці, y – становішча цела на восі знайсці закон руху цела, калі ў

пачатковы момант t 0 цела знаходзілася ў становішчы		y y0	і мела
хуткасць V0.
ЗАДАЧА 21
Паскарэнне цела, якое рухаецца	прамалінейна, мяняецца па		закону
a 12t 1, дзе а – паскарэнне (м/с2), t	– час. Пачатковае становішча х(0)=0 і

пачатковая скорасць V(0)=10 м/с. Знайсці закон руху пункта, становішча і хуткасць V: 1) у момант t = 3 c; 2) y момант часу, калі скорасць будзе найбольшая.

ЗАДАЧА 22

Лакаматыў рухаецца па гарызантальным участку шляху са скорасцю V0=20 м/с. Пры тармажэнні супраціўленне руху прапарцыянальна масе лакаматыву з каэфіцыентам прапарцыянальнасці 0,2. Вызначыць, праз які час ад пачатку тармажэння ѐн спыніцца. Вызначыць шлях, які лакаматыў пройдзе ад пачатку тармажэння да спынення.

36

ЗАДАЧА 23

Матэрыяльны пункт масай m=0,75 кг апускаецца ў вадкасць без пачатковай скорасці. На яго дзейнічае сіла цяжару і сіла супраціўлення вадкасці, якая прапарцыянальна скорасці апускання (каэфіцыент прапарцыянальнасці k=3). Знайсці залежнасць скорасці руху пункта ад часу. Вылічыць скорасць пункта праз 2 с і 10 с пасля пачатку апускання.

ЗАДАЧА 24

У пакоі з тэмпературай паветра 200 С некаторае цела ахалоджваецца ад 1000 да 600 С за 20 хвіл. Палічыўшы скорасць астывання цела прапарцыянальнай рознасці тэмператур цела і навакольнага асяроддзя, вылічыць, за які час цела астыне да 300 С.

ЗАДАЧА 25

Аўтамабіль у момант выключэння рухавіка ехаў са скорасцю 20 м/с. Праз 25 с скорасць аўтамабіля зменшыцца да 5 м/с. Вылічыць, праз які час пасля выключэння рухавіка скорасць аказваецца роўнай 1025 м/с, калі рух аўтамабіля прыцішваецца пад дзеяннем сілы трэння, прапарцыянальнай скорасці руху.

ЗАДАЧА 26

Запісаць ураўненне крывой, пра якую вядома, што яна праходзіць праз пункт А(1;2); таксама вядома, што здабытак вуглавога каэфіцыента датычнай у любым пункце крывой і сумы каардынат пункта дотыку роўна падвоенай ардынаце гэтага пункта.

ЗАДАЧА 27

Даказаць, што крывая, пра якую вядома, што даўжыня адрэзка, адсечанага на восі ардынат нармаллю, праведзенай у якім-небудзь пункце крывой, роўна адлегласці ад гэтага пункта да пачатку каардынат, ѐсць парабала.

ЗАДАЧА 28 Знайсці ўраўненні крывых, для якіх даўжыня адрэзка, адсечанага

нармаллю ў пункце М(х;у) на восі Ох, роўна yx2 .

ЗАДАЧА 29

Знайсці крывую, пря якую вядома, што вуглавы каэфіцыент датычнай у любым пункце ў n разоў большы, чым вуглавы каэфіцыент прамой, якая злучае гэты пункт з пачаткам каардынат.

37

ЗАДАЧА 30

У пункце з ардынатай 3 крывая нахілена да восі Оу пад вуглом 450. Любая яе датычная адсякае на восі абсцыс адрэзак, роўны даўжыні квадрата ардынаты пункта дотыку. Знайсці ўраўненне крывой.

ЛІТАРАТУРА

1.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа.

– М.: Наука, 1966.

2.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. –

М.: Наука, 1980.

3.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1966.

4.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.В двух часцях. Ч.2./Под общей редакцией А.П. Рябушко. – Мн.: Вышэйшая школа, 1991.

ЗМЕСТ
Уводзіны ..........................................................................................…	3
Кароткі беларуска – рускі слоўнік.....................................................	3
I. Тэарэтычныя пытанні ..........................................................................	3
II. Пытанні для самастойнай працы студэнтаў ………………………..	4
III. Варыянты разліковых заданняў .........................................................	6
IV. Дадатковыя задачы для самастойнай працы ...........…....................	36
Літаратура ...........................................................................................	40