ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

C 2 № 48. Ры­бо­лов в 5 часов утра на мо­тор­ной лодке от­пра­вил­ся от при­ста­ни про­тив те­че­ния реки, через не­ко­то­рое время бро­сил якорь, 2 часа ловил рыбу и вер­нул­ся об­рат­но в 10 часов утра того же дня. На какое рас­сто­я­ние от при­ста­ни он от­да­лил­ся, если ско­рость реки равна 2 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 6 км/ч?

Ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно  км. Ско­рость лодки при дви­же­нии про­тив те­че­ния равна 4 км/ч, при дви­же­нии по те­че­нию равна 8 км/ч. Время, за ко­то­рое лодка до­плывёт от места от­прав­ле­ния до места на­зна­че­ния и об­рат­но, равно  часа. Из усло­вия за­да­чи сле­ду­ет, что это время равно 3 часа. Со­ста­вим урав­не­ние: . Решив урав­не­ние, по­лу­чим  = 8 .

Ответ: 8 км.

C 2 № 126. Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 19 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встре­ти­лись в 9 км от А. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 1 км/ч боль­шей, чем пе­ше­ход, шед­ший из В, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из пунк­та A, равна  км/ч. Тогда ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из пунк­та B, равна  км/ч. Время дви­же­ния пе­ше­хо­да из пунк­та A до места встре­чи   ч на пол­ча­са мень­ше, чем время дви­же­ния дру­го­го пе­ше­хо­да   ч. Со­ста­вим урав­не­ние:   . После пре­об­ра­зо­ва­ния оно при­мет вид:    Корни урав­не­ния 6 и −3. Зна­чит, ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, равна 6 км/ч.

 

Ответ: 6.

C 2 № 311564. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми А и В равно 80 км. Из А в В по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через 2 часа вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт В, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в А. К этому вре­ме­ни плот про­шел 22 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ис­ко­мую ско­рость (в км/ч) за  . Плот прошёл 22 км, зна­чит, он плыл 11 часов, а яхта 9 часов. Таким об­ра­зом, имеем:

,

 

от­ку­да на­хо­дим  .

Ответ: 18 км/ч.

C 2 № 311570. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми А и В равно 126 км. Из А в В по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через 1 час вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт В, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в А. К этому вре­ме­ни плот про­шел 34 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ис­ко­мую ско­рость (в км/ч) за  . Плот прошёл 34 км, зна­чит, он плыл 17 часов, а яхта 16 часов. Таким об­ра­зом, имеем:

,

 

от­ку­да на­хо­дим  .

Ответ: 16 км/ч.

C 2 № 311598. Два опе­ра­то­ра, ра­бо­тая вме­сте, могут на­брать текст га­зе­ты объ­яв­ле­ний за 8 ч. Если пер­вый опе­ра­тор будет ра­бо­тать 3 ч, а вто­рой 12 ч, то они вы­пол­нят толь­ко 75% всей ра­бо­ты. За какое время может на­брать весь текст каж­дый опе­ра­тор, ра­бо­тая от­дель­но?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый опе­ра­тор может вы­пол­нить дан­ную ра­бо­ту за  часов, а вто­рой за  часов. За один час пер­вый опе­ра­тор вы­пол­ня­ет  часть всей ра­бо­ты, а вто­рой . Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

 

 

 

Ответ: пер­вый опе­ра­тор за 12 ч, вто­рой опе­ра­тор за 24 ч.

C 2 № 311616. На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник тра­тит на 11 часов боль­ше, чем ма­стер на из­го­тов­ле­ние 462 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что уче­ник за час де­ла­ет на 4 де­та­ли мень­ше, чем ма­стер. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет уче­ник?

Ре­ше­ние.

Пред­по­ло­жим, что уче­ник де­ла­ет  де­та­лей в час. Тогда ма­стер де­ла­ет  де­та­ли в час.  На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник по­тра­тит ч, а ма­стер тра­тит ч на из­го­тов­ле­ние 462 де­та­лей. Со­ста­вим урав­не­ние по усло­вию за­да­чи:

.

 

Решим урав­не­ние:

.

 

Корни по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния: −28 и 3. От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, на­хо­дим, что уче­ник де­ла­ет в час 3 де­та­ли.

Ответ: 3.

C 2 № 311617. Чтобы на­ка­чать в бак 117 л воды, тре­бу­ет­ся на 5 минут боль­ше вре­ме­ни, чем на то, чтобы вы­ка­чать из него 96 л воды. За одну ми­ну­ту можно вы­ка­чать на 3 л воды боль­ше, чем на­ка­чать. Сколь­ко лит­ров воды на­ка­чи­ва­ет­ся в бак за ми­ну­ту?

Ре­ше­ние.

Пусть за ми­ну­ту в бак на­ка­чи­ва­ет­ся  лит­ров воды. Тогда за ми­ну­ту вы­ка­чи­ва­ет­ся  л воды. По усло­вию за­да­чи со­ста­вим урав­не­ние:

,

 

от­ку­да

 

По­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние

,

 

име­ю­щее корни:  и .

От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, на­хо­дим, что за ми­ну­ту в бак на­ка­чи­ва­ет­ся 9 л воды.

Ответ: 9.

C 2 № 311653. Сме­шав 60%−ый и 30%−ый рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20%−ый рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90%−го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 70%−ый рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60%−го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ре­ше­ние.

Пусть  кг и  кг — массы пер­во­го и вто­ро­го рас­тво­ров, взя­тые при сме­ши­ва­нии. Тогда  кг — масса по­лу­чен­но­го рас­тво­ра, со­дер­жа­ще­го  кг кис­ло­ты. Кон­цен­тра­ция кис­ло­ты в по­лу­чен­ном рас­тво­ре 20 %, от­ку­да

 

Решим си­сте­му двух по­лу­чен­ных урав­не­ний:

 

За­ме­ча­ние. Ре­ше­ние можно сде­лать не­сколь­ко проще, если за­ме­тить, что из по­лу­чен­ных урав­не­ний сле­ду­ет: , от­ку­да . Пер­вое урав­не­ние при­ни­ма­ет вид , от­ку­да .

Ответ: 2 кг.

C 2 № 314442. Име­ет­ся два спла­ва с раз­ным со­дер­жа­ни­ем меди: в пер­вом со­дер­жит­ся 70%, а во вто­ром — 40% меди. В каком от­но­ше­нии надо взять пер­вый и вто­рой спла­вы, чтобы по­лу­чить из них новый сплав, со­дер­жа­щий 50% меди?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый сплав взят в ко­ли­че­стве x кг, тогда он будет со­дер­жать 0,7x кг меди, а вто­рой сплав взят в ко­ли­че­стве y кг, тогда он будет со­дер­жать 0,4y кг меди. Со­еди­нив два этих спла­ва по­лу­чим сплав меди мас­сой x + y, по усло­вию за­да­чи он дол­жен со­дер­жать 0,5(x + y) меди. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

 

 

Вы­ра­зим x через y:

 

Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние, в ко­то­ром нужно взять спла­вы:

 

 

Ответ: 

C 2 № 311656. Най­ди­те целое число, если из двух сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно толь­ко одно: 1) ; 2) .

Ре­ше­ние.

Если верно утвер­жде­ние 1, то верно и утвер­жде­ние 2, а это про­ти­во­ре­чит тому, что из этих двух утвер­жде­ний верно толь­ко одно. Сле­до­ва­тель­но, верно толь­ко утвер­жде­ние 2. Тогда . Этому не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ет толь­ко одно целое число: .

Ответ: −17.

C 2 № 314508. На пост главы ад­ми­ни­стра­ции го­ро­да пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Жу­равлёв, Зай­цев, Ива­нов. Во время вы­бо­ров за Ива­но­ва было от­да­но в 2 раза боль­ше го­ло­сов, чем за Жу­равлёва, а за Зай­це­ва — в 3 раза боль­ше, чем за Жу­равлёва и Ива­но­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­бе­ди­те­лем на вы­бо­рах ока­жет­ся Зай­цев. Пусть ко­ли­че­ство го­ло­сов, от­дан­ных за Зай­це­ва равно . Тогда за Жу­равлёва и Ива­но­ва вме­сте от­да­ли . Про­цент го­ло­сов, от­дан­ных за Бо­ри­со­ва  

 

Ответ: 75%.

C 2 № 316268. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 8 часов 45 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 21 час. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

По усло­вию пер­вая труба за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бас­сей­на, а две трубы вме­сте за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ют  часть бас­сей­на. Таким об­ра­зом, одна вто­рая труба за ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бас­сей­на, то есть она на­пол­ня­ет весь бас­сейн за 15 часов.

 

Ответ: 15.