TFKP

I. Число z записать в алгебраической форме. Найти z, Re z, Im z, jzj, arg z, Arg z.

1:

z =

2 + 4i

2:

z =

3 ¡ i

3 + i

2

+ i

5 + p

i

¡7 + p

i

4:

z =

3

5:

z =

3

p3 + 2i

2p3 + i

7:

z =

7 + 3i

8:

z =

¡1 ¡ 5i

5 + 2i

3 + 2i

¡9 + p

i

10: z =

3

11: z =

1 ¡ 3i

3 + 2p3i

1

+ 2i

13: z =

3 + i

14: z =

2

+ i

2 + 4i

3 ¡ i

p

3

+ 2i

2p3 + i

16: z =

¡5 + p

i

17: z =

¡7 + p

i

3

3

19: z =

5 + 2i

20: z =

3 + 2i

7 + 3i

1 + 5i

3 + 2p

i

3

1

+ 2i

22: z =

9 + p

i

23: z =

1 ¡ 3i

3

¡

¡1 + 5p

i

3:

z =

3

p3 + 4i

¡10 + 6p

i

6:

z =

3

p

¡ 7i

3

7 + p

i

3

9:

z =

¡4 + p

i

3

12:

z =

¡5 + p3i

2 + p3i

p

+ 4i

3

15: z =

¡1 + 5p

i

3

p3 + 6p3i

18:

z =

p

¡ 7i

3

¡4 + p

i

21:

z =

3

7 + p3i

2 + p3i

24:

z =

¡5 + p

i

3

II. Решить уравнение.

1: e2z + 2ez ¡ 3 = 0

z5 + 8(p

i ¡ 1)z4 = 0

2:

3

4: (z ¡ 1)(2z3 + p

¡ p

i) = 0

3:

3 cos z = 5

2

2

5:

3 sin z = ¡4i

6: z6

+ 26z3 ¡ 27 = 0

7:

ez ¡ 1 ¡ 6e¡z = 0

8: z4 + z3 ¡ 8iz ¡ 8i = 0

9:

tg z + 2i = 0

10: z8 + 15z4 ¡ 16 = 0

11: e2z ¡ 2ez ¡ 3 = 0

12: z4 ¡ z3 + 32p

2(z ¡ i + iz ¡ 1) = 0

13:

3 cos z = ¡5

14: z6

+ 63iz3 + 64 = 0

p

z4 ¡ p

z3 + 8(1 ¡ i)z ¡ 8(1 ¡ i) = 0

15:

3 sin z = 4i

16:

2

2

17: ez + 1 ¡ 6e¡z = 0

18: z6 ¡ 26z3 ¡ 27 = 0

19: tg z + 3i = 0

20: z4 + z3 + 8iz + 8i = 0

z5

¡ 8(p

i ¡ 1)z4 = 0

21:

4 sin z = 2i

22:

3

23: ez + 3 ¡ 2e¡z = 0

24: z8 ¡ 15z4 ¡ 16 = 0

11

III. Найти и изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих соотношению:

1: Re

z + 2i

> 0

2: Im

z + 4i

< 0

3: Re

z ¡ 2i

> 0

z + i

z + i

z + 4

4:

Im

z ¡ 3i

6 0

5:

Re

z ¡ 2i

> 0

6:

Im

z ¡ i

6 0

z + i

z + 1

z + 2i

7:

Re

z + 2i

6 0

8:

Im

z + 4i

> 0

9:

Re

z ¡ 3i

6 0

z + i

z + i

z + 4

10: Re

z + 4i

< 0

11: Im

z + 4i

6 0

12: Re

z ¡ 3i

6 0

z + i

z + i

z + 1

13: Im

z ¡ i

> 0

14: Re

z ¡ i

> 0

15: Im

z + 2i

> 0

z + i

z + 2i

z + 2i

16: Re

z ¡ 2i

< 0

17: Im

z ¡ 2i

> 0

18: Re

z ¡ i

< 0

z + 1

z + 1

z + 4

19: Im

z + 2i

< 0

20: Re

z + 4i

> 0

21: Im

z ¡ 3i

> 0

z + i

z + i

z + i

22: Re

z ¡ 3i

> 0

23: Im

z ¡ 2i

< 0

24: Im

z ¡ 2i

< 0

z + i

z + 1

z + 4

12

IV. Определить, сходится ли последовательность fzng, и если сходится, то найти ее предел.

n

n

1:

zn = µ

¶ + in sin

3

n + 5

n2

= p

¡

p

+ i

(¡1)n

3: z

n + 1

n

n

n2

5:

zn

=

cos 2n

+ i

1 + 2 + ::: + n

n2

n

7:

zn

= arctg

n2

+ i

(¡1)nn

n2 + 1

n3 + 2

9:

zn = n sin

2

+ i

µ

n + 1

¶

n

n

n

n3 ¡ 2n

+ i arctg

p

11: zn

=

n3 + 2

1 ¡ 3n3

n + 1

p

+ 1

n3 + 2n

2

13: zn =

+ in sin

n + 1

n

µ

¶

n

+ i

p3

+ p

15: z

=

n ¡ 2

n2

n3

n

n

pn3 + 1

17:

zn

=

n2 + n + 1

+ i

n!

2

(n + 1)! ¡ n!

1 ¡ n ¡ n

19: zn = n3ln ¡1 + n2 ¢ + i

n!

(n ¡ 1)! ¡ n!

21: zn

=

n

¡ 2n

+ i

sin 2n

1 + 3n3

n

p3

n3 + 2n + 1

p

1

23:

zn

=

+ i

n sin p

3n + 2

n

2: zn =

cos n3

¡ i

3n

2n

6n + 1

2

+ 1

4: zn = n2 sin

4

+ i

n

n2

2

2n ¡ n

6: zn = n ln ¡21 + n1 ¢ + i

cos 3n

3n2+ 1

8: zn =

ln(n + 1)

+ i

n

n2

3n2 + 1

10: zn = (¡1)

n

n + in(en

+ 1)

1

n3 + 1

p

2n + 3

2

+ n ¡ n + i

12: zn = n

5 ¡ 2n

n ¡ 2n2

+ ip

(p

¡

p

)

14: z

=

n + 2

n

n

n

1

¡

n2

p

p

3n + 2

2

2

16: zn = n

+ n ¡ n ¡ n + i

2n + 3

p

n2

1

2

+ 3 ¡ n) + i

18: zn = n(

n

sin

3

n2

p

p

n2 + 2

20: zn = n + 5 ¡

n + i

6 ¡ 2n

p

2n + 3

2

+ n ¡ n + i

22: zn = n

6 ¡ 2n

n ¡ 3n2

+ ip

(p

¡

p

)

24: z

=

n + 3

n

n

n

1

¡

2nn

13

V. Исследовать ряд на сходимость.

1:

i=1

µn2 + 1 + i

2n ¶

1

1

n2

P

µ

1)n

¶

P

n + 1

(

1

3:

+ i

¡

i=1

rn2

+ 2

4n

5:

i=1 ³0; 9n + i ln ³1 + p1n´´

P

1

7:

i=1

µ

5¡n

n

+ i sin n2

¶

1

n2

1

P

P

1

pn

1

9:

µtg

+ i

¶

i=1

n3+n

1; 5n

11:

i=1

µ

2n

+ in3 + 1¶

1

n3 + 1

n

P

µ

¶

P

(¡1)n0; 25n + ir

n + 2

13:

1

i=1

n2 + 3

15:

i=1

µepn ¡ 1 + in3 + 2¶

1

1

0; 9n

P

1

+1

n2

n

17:

P

µsin nn3

+ i

¡

¶

i=1

5n

19:

i=1

µ1; 2n + i tg n3+n2 ¶

1

pn

1

P

¶

21: i=1

µn3 + 10n2

+ 1 + i

n

1

n2

+ n

sin n

P

i=1

rn4

+ 5

pn + 1

P

µ

n + 2

(

1)n

¶

1

¡

23:

+ i

2:

4:

6:

8:

10:

12:

14:

16:

18:

20:

22:

24:

i=1

µn3 + 1

+ i

3n

¶

1

n

n2 + 1

P

¶

i=1

µln(1 + n2 ) + i2n

+ 1

1

1

n3

P

ein¼

1

iP

p

=1

n

i=1 µepn ¡ 1 + in2 + 1¶

P

3

1

n

1

1

µarcsin

1

1; 01n

¶

P

+ i

i=1

n4

n100

i=1

µ

3¡n

+ in3 + n¶

1

n2

1

n + 2

P

¶

i=1

µ3n + n

+ i ln 1 + n3

¢

P

2n + 1

¡

2

1

1

ein2

iP

n

=1

p

3

¶

i=1 µn2 + 1

n

P

cos n

1

n ¡ 2

+ i

µ

¶

1

1; 02n

1

P

+ i arcsin

i=1

n20

n5

i=1

µ

n2

4n

n3

+ n2 ¶

1

+ 3n + i

n ¡ 2

P

1

n3

iP

(1 + i)n

=1

14

VI. Найти образ кривой ° относительно дробно–линейного отобра-

жения L, удовлетворяющего заданным условиям:
1: ° : jz ¡ ij = 1;	L(1 ¡ i) = 0;	L(2 + 2i) = 1;	L(1) = 2
2: ° : Re z = 1;	L(2 + 2i) = 0;	L(1 ¡ i) = 1;	L(1) = 1
3: ° : jz + 1j = 1;	L(¡2 ¡ 2i) = 0; L(¡1 ¡ i) = 1;		L(1) = 2
4: ° : Im z = ¡2;	L(¡1 ¡ i) = 0; L(2 + i) = 1;		L(1) = ¡1
5: ° : jz + ij = 1;	L(3 + i) = 0;	L(1 ¡ i) = 1;	L(1) = i
6: ° : Re z = Im z;	L(2 + i) = 0;	L(2 + 2i) = 1;	L(1) = 1
7: ° : jz ¡ 2j = 1;	L(2 + 2i) = 0;	L(1 ¡ i) = 1;	L(1) = ¡i
8: ° : Re z + Im z = 0; L(¡1 ¡ i) = 0; L(1 ¡ i) = 1;			L(1) = 2
9: ° : jz ¡ ij = 2;	L(¡1 + i) = 0; L(¡1 ¡ i) = 1;		L(1) = ¡1
10: ° : Re z = ¡1;	L(¡2 ¡ 2i) = 0; L(¡1 + 2i) = 1;		L(1) = i
11: ° : jz ¡ 1j = 2;	L(¡1 + 2i) = 0; L(1 + 2i) = 1;		L(1) = 1
12: ° : Im z = 1;	L(2 + i) = 0;	L(¡2 ¡ 2i) = 1;	L(1) = ¡2
13: ° : jz + 1j = 2;	L(¡2 ¡ i) = 0; L(¡2 + i) = 1;		L(1) = 2
14: ° : Re z = 2Im z;	L(1 ¡ 3i) = 0;	L(1 + 3i) = 1;	L(1) = ¡1
15: ° : jz + 2ij = 1;	L(¡1 ¡ 3i) = 0; L(¡1 ¡ 2i) = 1;		L(1) = i
16: ° : 2Re z + Im z = 0; L(1 + 3i) = 0;		L(1 ¡ 2i) = 1;	L(1) = 1
17: ° : jz + 2j = 1;	L(3 + i) = 0;	L(¡2 + i) = 1;	L(1) = ¡2
18: ° : Re z = 2;	L(¡3 + i) = 0; L(¡3 ¡ i) = 1;		L(1) = ¡i
19: ° : jz ¡ 1 ¡ ij = 1;	L(2 + 3i) = 0;	L(2 + i) = 1;	L(1) = ¡1
20: ° : Im z = ¡1;	L(1 + i) = 0;	L(1 ¡ i) = 1;	L(1) = i
21: ° : jz ¡ 1 + ij = 1;	L(1 ¡ i) = 0;	L(2 ¡ i) = 1;	L(1) = 1
22: ° : 2Re z = Im z;	L(¡1 ¡ i) = 0; L(1 ¡ i) = 1;		L(1) = ¡i
23: ° : jz + 1 + ij = 1;	L(2 + 2i) = 0;	L(¡1 ¡ i) = 1;	L(1) = ¡1
24: ° : Re z + 2Im z = 0; L(1 ¡ 2i) = 0;		L(2 ¡ i) = 1;	L(1) = i

15

VII. Установить, сходится ли указанный ряд в точках z1 и z2, указать на комплексной плоскости круг сходимости и эти точки.

1:	1	in(z ¡ i + 3)n	;	z =	i		3; z = 1 + i
	nP
		(n2 + 1)		1 2 ¡			2
	=1

2:

3:

4:

5:

6:

7:

8:

9:

10:

11:

12:

13:

14:

1

(2i)n

nP

p

(z ¡ 1 ¡ i)n;

=1

n

nP

1

i

(z ¡ 2 + 4i)n;

=1

2n3n+1

nP

1

1

(z ¡ 21 ¡ i)n;

=1

(3n + i)2

nP

1

1 + i

(z + 3i)n;

=1

n2n

nP

1

1

(z ¡ i)n;

=1

n(1 + i)n

nP

n

1

n

(z ¡ 2i)n;

=1

(3 + 4i)n

nP

1

2

(z ¡ 2 ¡ i)n;

=1

p

n

nP

n

1

2n ¡ i

(z

¡

3

¡

i)n;

=1

2n

nP

2

1

2

(z ¡ 1 + 2i)n;

=1

2n + i

nP

1 n + 2

(z + 2 ¡ i)n;

=1

p

in

nP

1

n + 1

(z ¡ 1 + i)n;

=1

(3i)n

P1 i2n+13n(z ¡ 2 + i)n;

n=1

P1 (2n + 3i)2(z + 2 ¡ i)n;

n=1

z1 = 1 + 23i; z2 = ¡2 ¡ i

z1 = 2 ¡ i; z2 = ¡3 + 5i

z1 = 1 + 2i ; z2 = ¡3 ¡ i

z1 = 1 ¡ 2i; z2 = 2 + i

z1 = 1 + i; z2 = ¡2 + i

z1 = 2 + i; z2 = ¡5 + i z1 = p3 + i; z2 = 2 + 2i

z1 = 2 + i; z2 = ¡2 + 3i

z1 = 34 ¡ 2i; z2 = ¡2 ¡ i

z1 = 12 + i; z2 = ¡2 + 12i

z1 = 1 + i; z2 = 2 + 2i

z1 = i; z2 = 2 ¡ 67i

z1 = ¡2 + 13i; z2 = 1 + i

16

15:

16:

17:

18:

19:

20:

21:

22:

23:

24:

P1 (1 ¡ i)n3n¡1(z + 1 ¡ i)n; z1 = 1 ¡ i; z2 = ¡54 + i

n=1

1

(1 + i)n

n

nP

(z + i)n;

=1

n5

2

nP

1

(3 + 4i)

(z ¡ 2i)n;

=1

n2 + 1

nP

p

n

1

n + n

(z ¡ 2 ¡ i)n;

=1

2n

1

(p

+ p

i)

2

2

nP

2

(z + 2i)n;

=1

2n + i

3

nP

1

n ¡ 2i

(z + 1 + 2i)n;

=1

4n

nP

n

1

n

+ 2i

(z ¡ 2 + i)n;

=1

n + i

1

p

(2i)

(z ¡ 2 + i)n;

nP

2

nn + 2

=1

n

nP

1

2 i

3n

+ n

(z ¡ i)n;

=1

nP

1

(z ¡ 1 + i)

;

2

=1

(3n + 2)

z1 = 12 ¡ i; z2 = 1 + 2i

z1 = 1 + i; z2 = 14 + 2i

z1 = 1 + i; z2 = 1 + 3i

z1 = 1 + 2i; z2 = 13 ¡ 2i

z1 = ¡1 ¡ i; z2 = 1 + i

z1 = 1 + i; z2 = 2 ¡ 12i

z1 = ¡2 + 34i; z2 = 2 ¡ i

z1 = 1 ¡ i; z2 = i ¡ 1

z1 = 12 ¡ i12; z2 = i ¡ 1

VIII. Установить с помощью теоремы Коши–Римана, является ли аналитической следующая функция

1: f(z) = z2 + z1	2: f(z) = z2(2 ¡ i)	3: f(z) = zz
4: f(z) = z2 + z	5: f(z) = z2z	6: f(z) = zez
7: f(z) = z2	8: f(z) = z + ez	9: f(z) = z2 + 2z
10: f(z) = ez	11: f(z) = zz + z	12: f(z) = iz2 + z
13: f(z) = z2 + iz	14: f(z) = 2zz + z	15: f(z) = z + ez
16: f(z) = iz2 + eiz	17: f(z) = z2 + 2z + 1	18: f(z) = z + e¡z
19: f(z) = z2 + zz	20: f(z) = ez + ez	21: f(z) = iz2 + 2z
22: f(z) = z2 + iz	23: f(z) = 2zz + z	24: f(z) = z + e¡z

17

IX. Вычислить интеграл, считая, что контур интегрирования пробегается в положительном направлении один раз.

1:	R°	z	dz;	где °	¡	граница области	j	z		j	< 1; Im z < 0
		z
	R°	z
2:		z	dz;	где ° ¡		граница области 1 < jzj < 2; Im z > 0
3:	R°	z dz;		где ° ¡		контур треугольника с вершинами в точках
				z1 = 0; z2 = 1; z3 = i
4:	R°	jzj dz;		где ° ¡		граница области jzj < 1; Im z > 0
5:	R°	jzzj dz;		где ° ¡		граница области jzj < 1; Re z > 0
6:	R°	e	dz;	z1 = 0; z2		= 1; z3 = 1 + i
				где ° ¡		контур треугольника с вершинами в точках
7:	R°	jz2jz dz;		где ° ¡		граница области jzj < 1; Re z < 0
8:	R°	jz j dz;		где ° ¡		граница области jzj < 3; Im z < 0
9:	R°	Im z dz;		где ° ¡		контур треугольника с вершинами в точках
				z1 = 1; z2 = 2 + i; z3 = 1 + i
10: R°		zjzj dz;		где ° ¡		граница области jzj < 2; Re z > 0
11: R°		zz dz;		где ° ¡		граница области jzj < 3; Re z < 0
12:	R°	(z + Re z) dz		где ° ¡ контур треугольника с вершинами в точках
				z1 = 1; z2 = 2 + i; z3 =			¡		1 + i
13: R°				¡		¡
		Re z dz		где ° ¡		граница области jzj < 1; Im z < 0
14: R°		(z + z) dz		где ° ¡		граница области jzj < 2; Re z > 0
15:	R°	(z + Re z) dz		где ° ¡		контур треугольника с вершинами в точках
				z1 = 1; z2 = 2 ¡ i; z3 = 1 ¡ i
16: R° (z + Im z) dz				где ° ¡		граница области jzj < 1; Im z > 0
17: R°		zzdz		где ° ¡		граница области jzj < 2; Re z < 0
18:	R°	e	dz	где ° ¡		контур треугольника с вершинами в точках
				z1 = 0; z2 = 1; z3 = i
19: R°		jzjz dz		где ° ¡		граница области jzj < 1; Im z < 0

18

20:	z	dz	где °	¡	граница области z	j	< 2; Re z > 0
R°	z				j
	z
21:	z	dz	где ° ¡ контур треугольника с вершинами в точках
R°	jz2j dz		z1 = ¡1; z2 = ¡1 + i; z3 = 0
22: R°			где ° ¡		граница области jzj < 1; Im z > 0
23: R°	zjzj dz		где ° ¡		граница области jzj < 2; Re z < 0
R°			z1 = 1; z2		= i; z3 = ¡1
24:	zz dz		где ° ¡		контур треугольника с вершинами в точках

19

X. Вычислить интеграл, считая, что контур интегрирования пробе-

гается в положительном направлении один раз.

1:

а)

1e2z dz;

б)

cos(z+¼)

dz;

в)

iz sin

1

dz;

(z¡2)(z+2i)

z+1

jzj=1

z

jzj=3

jzj=2

1

а)

R

ez

б)

R

sin z

в)

R

2

z+i

2:

(z+2i)2(z

2) dz;

(z+i)(z

1)

dz;

jzjR=2

z

e

dz;

jz+2Rij=1 z2+5

¡

jzjR=2 ez+i¼

¡

1

3:

а)

z¡1

dz;

б)

z =3 z2¡1

dz;

в)

(iz ¡ 1) cos

dz;

z

1

=1

z =3

z+i

j

¡Rj

cos z

j jR

cos(z+¼2 )

j jR

2

2

4:

а)

dz;

б)

jzjR=2

dz;

в)

jzjR=3

z

sin

dz;

1

(z¡i)2z

z2+iz

z¡1

jz¡Rij=2

sin2(2z)

sin z

2

2

5:

а)

dz;

б)

z =3 z2+1

dz;

в)

z =2 (z

+ z)e

dz;

z

i =1

z¡i

z¡i

j

¡Rj

cos(2z)

j jR

¼

j jR

2

2

ez+i 2

6:

а)

(z+1)2z

dz;

б)

z =2

dz;

в)

z =2 (z

¡ z) cos

dz;

z+1 =1

(z+1)(z¡i)

z¡1

j

Rj

2

j jR

j jR

sin(z+¼ )

cos(¼¡z)

(z2 + 1) sin

1

7:

а)

2

dz;

б)

dz;

в)

dz;

z+1

z+i

jzjR=2

jzjR=3

(z¡2)(z¡2i)

jzjR=2

cos z

sin(¼+z)

2

1

8:

а)

dz;

б)

jzjR=3

dz;

в)

jzjR=2

(z

+ 1)e

dz;

(z+i)2z

z2+4

z

i

jz+Rij=21

z3+1

e2z

2

¡

2

9:

а)

z+i

dz;

б)

dz;

в)

(z

+ 2zi) cos

dz;

z+i

=1

z =3

z2¡4

z =2

z+1

j

Rj

eiz

j jR

cos(2z+¼2 )

j jR

2

2

10:

а)

dz;

б)

jzjR=4

dz;

в)

jzjR=2

(z

+ iz) sin

dz;

(z¡2)2(z+i)

z2¡3iz¡2

z¡i

jz¡R2j=1

z3+2

sin(2z)

1

11:

а)

z+1 =2

dz;

б)

z =4

dz;

в)

z =2 (2iz ¡ 1)e

dz;

z2¡z¡2

z2+3iz¡2

z¡1

j

Rj

cos(2iz)

j jR

eiz+i

¼

j jR

1

2

12:

а)

dz;

б)

dz;

в)

(3iz + 2) cos

dz;

z+2

=1

(z+2)2(z¡i)

z =4

z2¡z¡6

z =2

z+i

j

Rj

z2

j jR

cos(2z)

j jR

1

13:

а)

dz;

б)

dz;

в)

(i ¡ 2z) sin

dz;

z+1

=1

z2¡1

z =4

(z¡3)(z+i)

z =2

z¡i

j

sin (

2z)

sin(iz+¼)

2

2=(z

i)

Rj

j jR

j jR

14:

а)

¡

dz;

б)

jzjR=4

dz;

в)

jzjR=2

(z

¡ iz) e

¡

dz;

(z¡2i)2(z+1)

(z+3)(z¡i)

jz¡2Rij=1 z2+3

ei¼¡iz

2

1

15:

а)

z2+1

dz;

б)

dz;

в)

(z ¡ z

) cos

dz;

z+1

=1

z =4

(z+i)(z+3)

z =2

z¡i

j

cos(¼¡iz)

Rj

cos(2z)

j jR

j jR

2

1

16:

а)

dz;

б)

dz;

в)

(2iz ¡ z

) sin

dz;

z+2

=1

(z+2)2(z+3i)

z =5

(z+4i)(z+i)

z =2

z+i

j

sin(2¼¡z)

Rj

z4

j jR

j jR

2

2=(z

i)

17:

а)

dz;

б)

jzjR=5

dz;

в)

jzjR=2

2z

¢ e

¡

dz;

z2

3iz¡2

(z¡4)(z+3i)

jz¡Rij=1

¡

e2z

e2z¡i¼

2

1

18:

а) jz+3Rij=1

dz;

б) jzjR=5

dz;

в) jzjR=2

(iz ¡ z

) cos

dz;

(z+3i)2¢(z¡2)

z2¡iz+12

z+i

20