Министерство образования и науки Российской Федерации

Дальневосточный федеральный университет

Школа естественных наук

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ЛИНЗЫ

ПО ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЕ КОЛЕЦ НЬЮТОНА

Учебно-методическое пособие

к лабораторной работе № 4.14

по дисциплине «Физический практикум»

Владивосток

Дальневосточный федеральный университет

УДК53(о76.5)

ББК 22.343

Э-41

Составители:

О.М. Устинова, Е.А. Коблова

Э-41	Определение радиуса кривизны линзы по интерференционной картине колец Ньютона: учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 4.14 по дисциплине «Физический практикум»//Дальневосточный федеральный университет, Школа естественных наук [сост. О.М. Устинова, Н. Е.А. Коблова] – Владивосток: Дальневост. федерал. ун-т, 2014..-16с.
	Пособие, подготовленное на кафедре общей физики Школы естественных наук ДВФУ, содержит краткий теоретический материал по теме «Интерференция света» и инструктаж к выполнению лабораторной работы «Определение радиуса кривизны линзы по интерференционной картине колец Ньютона» по курсу «Оптика». Для студентов ДВФУ направления «бакалавриат».
	УДК 53(076.5) ББК22.343

© ФГАОУ ВПО «ДВФУ», 2014

Цели лабораторной работы: а) изучить явление интерференции света; б) изучить интерференционную картину, называемую «кольца Ньютона»; в) проанализировать изменение характера интерференционной картины в зависимости от длины световой волны; г) определить радиус кривизны линзы по известной длине волны монохроматического света

1. Краткая теория

Согласно волновой теории свет представляет собой электромагнитную волну, которая характеризуется векторами напряженности электрического и магнитногополей. Векторыиперпендикулярны друг к другу и направлению распространения волны, т.е. электромагнитные волныпоперечны. Поскольку практически все действие света связано с вектором , принято его называтьсветовым вектором.

В электромагнитной волне вектор напряженности зависит от координат и времени согласно выражению:

=

где -циклическая частота, - волновой вектор (),- начальная фаза, T- период,- длина волны.

Если амплитуда, частота, длина волны и начальная фаза не меняются со временем, то вышеприведенное выражение описывает монохроматическую волну. Электрическая составляющая световой волны заметно изменяется при распространении света в различных средах, при прохождении через препятствие, при сложении волн.

При распространении в пространстве нескольких волн результирующее колебание в любой точке представляет собой геометрическую сумму колебаний, т.е. суперпозицию волн. Особый интерес представляет сложение волн, при котором наблюдается явление интерференции света: заключающееся в перераспределении энергии световых волн от когерентных источников света, которое происходит из-за наложения этих волн друг на друга. На экране, который помещают в область наложения волн, наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся темных и светлых полос, т.е. чередующихся минимумов и максимумов интенсивности света.

Для выяснения причин и условий перераспределения световой энергии в пространстве рассмотрим (рис.1) наложение двух плоских монохроматических световых волн, приходящих в произвольную точку Р, отстоящих от источников волн S₁ и S₂ на расстоянии r₁ и r₂, соответственно.

Рис.1 Интерференция волн от двух когерентных источников

В точке Р световые волны возбуждают колебания световых векторов согласно уравнениям:

и (1)

Согласно принципу суперпозиции результирующее колебание вектора напряженности в точке Р при наложении двух световых волн будет равно векторной сумме и

Потребуем, чтобы колебания световых векторов происходили вдоль одного и того же направления, т.е. . Тогда амплитуду результирующего колебания можно найти с помощью векторной диаграммы и теоремы косинусов:

(2)

где называютинтерференционным членом.

Поскольку интенсивность световой волны пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора, то интенсивность результирующего света I в данной точке пространства равна:

(3)

Где - интенсивности накладываемых волн в этой точке.

Приборы могут регистрировать только среднее по времени значение интенсивности , подобно тому, как глаз не в состоянии следить за колебаниями яркости лампочки накаливания, питаемую переменным током, и отмечает некоторую постоянную среднюю яркость, Поэтому необходимо усреднить (3) по времени наблюдения τ.

Полагая ине зависящими от времени наблюдения, получим:

где среднее значение косинуса разности фаз:

Проанализируем полученное выражение:

1. Если разность фаз остается неизменной в течение времени наблюдения, то

Выполнение этого условия возможно только при равенстве частот ω₁=ω₂ складываемых колебаний, поскольку с учетом (1)

𝛗₂ - 𝛗₁= (ω₂- ω₁)t-(k₂r₂- k₁r₁) + (𝛗₀₂- 𝛗₀₁)

Интенсивность результирующего колебания в каждой точке не будет изменяться со временем, и будет отличаться от суммы интенсивностей исходных колебаний: может быть больше или меньше ее, в зависимости от разности фаз (имеет место интерференция).

, т.е. .

В тех точках, для которых значение соs(), будет наблюдаться усиление света

, а в точках, для которых значение соs(), будет наблюдаться ослабление света.

2. Если за время усреднения τ разность фаз () много раз изменялась так, что соs() принимал как положительные, так и отрицательные значения, то его среднее значение⟨соs()⟩ за время наблюдения будет равно нулю, тогда . В этом случае интерференция отсутствует.

Следовательно, можно сформулировать необходимое условие существования интерференции: для возникновения интерференции необходимо, чтобы среднее по времени значение косинуса разности фаз складываемых колебаний не должно быть равно нулю и разность фаз сохраняет свое значение за время усреднения. Колебания (и волны) одинаковой частоты, для которых разность фаз за время наблюдения остается постоянной, называются когерентными.

Из выражения (2) видно, что если интерференционный член равен нулю, т.е. среднее значение скалярного произведения векторов иравно нулю (имеет место для перпендикулярных векторов), то интерференция отсутствует. Таким образом,для возникновения интерференции векторы идолжны быть неперпендикулярными.

Оптическая длина пути световой волны, распространяющейся в однородной среде с абсолютным показателем преломления n, равна произведению геометрической длины r пути световой волны в данной среде на показатель преломления этой среды, т.е. . Тогда выражение фазы световой волны можно представить через ее оптическую длину

где учтено, что волновое число k связано с длиной волны в среде λ и длиной волны в вакууме соотношениями:

Оптическая разность хода двух волн (когерентных) равна:

Тогда разность фаз Δ𝛗 двух когерентных волн (при условии, что ) можно выразить через их оптическую разность хода Δ:

Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

(m=0,1,2,…) (4)

то = ±2pm, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Следовательно, (4) является условием интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн

(m=0,1,2,…) (5)

то = ±(2m + 1)p, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (5) является условием интерференционного минимума.

Существуют различные способы получения интерференционной картины. Частным случаем являются «полосы равной толщины», примером которых служат «кольца Ньютона».

Рис. 2 Ход лучей в отраженном свете при получении колец Ньютона.

Рис. 3 Ход лучей в проходящем свете при получении колец Ньютона.

Их можно наблюдать при отражении световой волны от поверхностей тонкой клиновидной прослойки, образованной поверхностью плоской стеклянной пластины и соприкасающейся с ней выпуклой сферической поверхностью линзы большого радиуса кривизны R (рис. 2). При нормальном падении монохроматического света на плоскую поверхность линзы наблюдаются интерференционные полосы в виде чередующихся концентрических темных и светлых колец.

Если интерференционная картина наблюдается в проходящем свете (рис.3), то она будет обратной по отношению к картине в отраженном свете: там, где наблюдались темные кольца, будут наблюдаться светлые, и наоборот. Радиусы темных и светлых колец зависят от радиуса кривизны линзы и длины световой волны. Их ширина и интенсивность убывает по мере удаления от центрального пятна.

Пусть на плоскую поверхность линзы нормально падает (рис.2) монохроматический свет длиной волны . Зазор между линзой и пластинкой обозначим (): знак «плюс» соответствует случаю, если в область контакта между линзой и пластинкой попадает пылинка размером, знак «минус» - в случае сильного прижатия линзы к пластинке идеформации.

Выделим из падающего света один луч и рассмотрим его ход. В результате отражения от нижней поверхности линзы и верхней поверхности плоской пластины образуются два когерентных луча (волны), которые интерферируют. Эти два луча имеют оптическую разность хода:

Следует учесть, что при отражении от оптически более плотной среды фаза отраженной электрической составляющей волны скачком изменяется на π, что равносильно дополнительной разности хода .

Таким образом, полная оптическая разность хода волн 1 и 2 (рис. 2) равна:

+

Условие минимумов (5) интерференции в отраженном свете запишется в виде:

+ (m=0,1,2,…) (6)

где m – порядок интерференции (номер кольца Ньютона).

Рис. 4 Геометрические построения при определении толщины d ().

Из рис. 4 видно, что перпендикулярен диаметру 2R окружности, опущен из вершины прямоугольного треугольника, т.е. является среднегеометрическим в прямоугольном треугольнике. Таким образом, Учитывая, что , получим: (7)

В лабораторной работе кольца Ньютона будут наблюдаться в проходящем свете (Рис.5). ). Лучи С' и С" будут когерентны. Разность хода у них в случае нормального падения лучей будет равна:

Условие минимумов (5) интерференции в проходящем свете запишется в виде:

+(m=1,2,…) (8)

Учитывая (7), условие минимумов приобретет вид:

+ (m=1,2,…)

Из полученной формулы выразим квадрат m-го темного кольца Ньютона:

(9)

При идеальном контакте =0 и .

Как видно из формулы, радиус кольца зависит от номера кольца, длины волныи радиусалинзы.

Получим формулу для целей экспериментального определения длины волны. Формула для квадрата радиуса m-го кольца запишется так:

(10)

Для квадрата радиуса k-го кольца:

(11)

Вычтем из выражения (11) выражение (10), получим формулу для вычисления :

(12)

Если построить график зависимости f(m), откладывая по оси абсцисс номера темных колец, а по оси ординат− квадраты их радиусов , то в соответствии с формулой (10) должна получиться прямая. Вычислив тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс можно определить радиус кривизны линзы:

(13)

где ; m и k − номера колец; − соответствующие их радиусы.