11

ЛЕКЦИЯ

по учебной дисциплине

МАТЕМАТИКА

Тема № . Интегральное исчисление

Занятие № . Понятие определенного интеграла

Учебные и воспитательные цели

1. Изучить понятие определенного интеграла, его геометрический и физический смысл, основные свойства.

2. Развивать математическое и логическое мышление, повышать математический кругозор студентов.

I. Учебные вопросы и расчет времени

I. Введениe 5 мин.

II. Основная часть 80 мин.

Учебные вопросы

1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы 20 мин

2. Геометрический и физический смысл определенного

интеграла 15 мин

3. Формула Ньютона-Лейбница 15 мин

4. Основные свойства определенного интеграла 30 мин

III. Заключение 5 мин

Введение

Определенный интеграл – одно из основных понятий высшей математики. Определенный интеграл является мощным инструментом для проведения исследований и решения задач в математике, физике, механике и других дисциплинах. Вычисление площадей, длин дуг, объемов работы, моментов инерции и т. д. сводится к вычислению определенных интегралов.

Теоретические задачи, которые в современных обозначениях записываются через определенные интегралы раесматривал еще Архимед. Создание интегрального исчисления в нашем смысле слова с его выходами в геометрию, механику и физику - дело ХVП века и в основном Ньютона и Лейбница. Точное определение интеграла как предела интегральных сумм дано впервые Коши (1821г.)

В лекции мы познакомимся с понятием определенного интеграла и его основными свойствами.

1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

а) Задача о площади криволинейной трапеции.

Зададим на отрезке [a, b] неотрицательную непрерывную функцию f(x). График ее изображен на рис. I.

Рис. 1

Поставим задачу: требуется определить площадь фигуры, ограниченной кривой f(x), осью x, прямыми x=a, x=b и вычислить эту площадь. Эта фигура называется криволинейной трапецией, а поставленная задача называется задачей о площади криволинейной трапеции.

Поставленную задачу естественно решать так. Отрезок [a, b] точками a = x₀ <x₁ < x₂ < …< x_n-1 < x_n = b разобьем на n частичных отрезков [a, x₁], [x₁, x₂], …, [x_n-1, b], длины которых обозначим через

x_k = x_k – x _k-1 , k = 1, 2, …, n).

В каждом из отрезков [x_k-1, x_k] выберем произвольно точку С_k и вычислим в ней f(C_k). Произведение f(C_k).x_k выражает площадь прямоугольника о основанием x_k и высотой f(C_k). Составим сумму всех таких произведений

S_n = f(C₁).x₁ + f(C₂).x₂ + …+ f(C_k).x_k = (1.1)

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на [a,b] и выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из площадей прямоугольников.

Очевидно, сумма (1.1) зависит от способа разбиения и выбора точек С_k. Обозначим через  длину наибольшего из частичных отрезков разбиения [x_k-1, x_k], т. е.

Будем теперь стремить все х_k к нулю и притом так, чтобы 0. Если при этом величина S_n стремится к определенному пределу S, не зависящему от способов разбиения (I) и выбора точек С_k на частичных отрезках, то величину S будем называть площадью криволинейной трапеции. Таким образом,

Итак, мы дали определение площади нашей криволинейной трапеции. Возникает вопрос: имеет ли каждая такая фигура площадь, иначе говоря, стремится ли на самом деле к конечному пределу ее интегральная сумма S, когда 0? Для функции f(x) непрерывной на [a,b], этот вопрос решается положительно. Практика полностью оправдала это определение.

Рассмотренная задача привела нас к необходимости рассмотрения предела интегральной суммы.

Операция вычисления пределов интегральных сумм называется интегрированием функции на отрезке, а ее результат - число - называется определенным интегралом от функции на отрезке.

Определение 1. Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f(x).

1) Отрезок [a, b] точками a = x₀ <x₁ < x₂ < …< x_n-1 < x_n = b разделим на n произвольных частичных отрезков [a, x₁], [x₁, x₂], …, [x_n-1, b], длины которых обозначим через x_k = x_k – x _k-1 , k = 1, 2, …, n). Будем говорить, что этим произведено разбиение R отрезка [a, b].

2) На каждом частичном отрезке [x_k-1, x_k], разбиения выберем произвольную точку C_k[x_k-1, x_k] и вычислим в ней значение данной функции f(C_k).

3) Составим сумму

S_R = f(C₁).x₁ + f(C₂).x₂ + …+ f(C_k).x_k =

называемую интегральной суммой функции f(x) на [a, b] соответствующей разбиению R.

4) Обозначим через

максимальную длину частичных отрезков разбиения R.

Если существует конечный предел J интегральной суммы при _R0, не зависящей ни от способа разбиения отрезка, ни от выбора точек С_K, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:

(1.2)

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

Определение 2. Число называется определенным интегралом для функции f(x) на [a, b], если для любого  > 0 найдется такое () > 0, что при любом разбиении R, для которого _R <  всегда выполняется неравенство

при любом выборе точки C_k[x_k-1, x_k].

Из определения следует, что величина определенного интеграла

зависит только от вида функции f(x) и от чисел a и b. Следовательно, если заданы f(x) и пределы интегрирования, то интеграл (1.2) определяется однозначно и представляет собой некоторое число.

Заметим, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

Функция, для которой существует конечный предел (1.2), называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Условия существования определенного интеграла.

Отметим без доказательства, что справедливы следующие утверждения:

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.

Теорема 2. Если функция f(x) имеет на отрезке [a, b] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на [a, b].